— 126 ~- 



sur des cas étendus où le cercle de convergence est une coupure ; 

 il a été suivi dans cette voie par Borel, Leau et Fabry; celui-ci 

 a pu établir que, en général, le cercle de convergence est une 

 coupure. La considération d'une certaine intégrale définie par 

 Hadamard a été féconde et fut l'origine de nombreuses re- 

 cherches ultérieures. 



La notion de genre a été introduite par Laguerre dans la 

 théorie des fonctions entières; elle est intimement liée à la dis- 

 tribution des racines de la fonction. Poincaré a donné une con- 

 dition nécessaire pour qu'une fonction soit de genre donné. 

 Hadamard put démontrer que la condition est suffisante, et il 

 établit un lien entre la décroissance des coefficients et la crois- 

 sance des racines; de ces résultats il a fait une application remar- 

 quable à l'étude d'une fonction célèbre considérée par Riemann 

 dans la théorie des nombres premiers. Borel s'est occupé avec 

 grand succès de la distribution des racines des fonctions entières 

 et de l'impossibilité de certaines identités; il a étudié, après 

 Hadamard, la difficile question de la croissance des fonctions 

 entières, sujet qu'ont encore approfondi dans des études ré- 

 centes Boutroux," Denjoy et Valiron. 



La notion de série divergente sommable, telle qu'elle a été 

 posée par Borel, s'est montrée très féconde pour l'extension 

 d'une série entière au delà de son cercle de convergence, même 

 dans le cas où le rayon de ce cercle est nul. On doit à Painlevé 

 d'importants développements dans cet ordre d'idées, qui se 

 raccorde avec les résultats de Mittag-Leïïîer sur l'étoile d'une 

 fonction. La plupart des travaux précédents ont été exposés 

 d'une manière didactique dans une collection précieuse sur la 

 théorie des fonctions, publiée par Borel et ses collaborateurs 

 français Lebesgue, Boutroux, Baire, Montel qui y font aussi 

 connaître leurs travaux personnels. 



La théorie générale des fonctions multifonnes présente de 

 grandes difficultés. Poincaré a démontré à ce sujet Un théorème 

 remarquable et bien inattendu : étant envisagée une fonction 

 multiforme quelconque d'une variable, on peut exprimer fonction 

 et variable par des fonctions uniformes d'un paramètre, ré- 

 sultat considérable qui montre que, au moins, théoriquement, 

 les fonctions multiformes se ramènent aux fonctions uniformes. 

 Painlevé a fait une classification rationnelle des singularités 

 des fonctions analytiques. 



