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Si, d'une variable, on passe à deux variables, les difficultés 

 augmentent considérablement. L'extension aux intégrales 

 doubles du théorème fondamental de Cauchy relatif aux inté- 

 grales prises le long d'un contour a été réalisée par Poincaré; 

 on en déduit la notion de résidu d'une fonction rationnelle. Il 

 faut encore citer le théorème de Poincaré sur la possibilité de 

 mettre sous la forme de deux fonctions entières toute fonction 

 uniforme n'ayant que des singularités non essentielles à dis- 

 tance finie, résultat étendu par Cousin à un nombre quelconque 

 de variables. 



Jetons maintenant un coup d'oeil sur quelques fonctions 

 spéciales. Il n'en est pas qui aient été plus étudiées que les fonc- 

 tions algébriques d'une variable depuis le mémoire de Puiseux. 

 La notion capitale du genre d'une courbe algébrique avait été 

 entre\me par Abel; elle fut certainement approfondie par 

 Galois, comme le montre une lettre rappelée précédemment. 

 Mais la théorie fut complètement reprise par Riemann et 

 Weierstrass, et poussée à un haut point de perfection. Les inté- 

 grales de différentielles algébriques ont fait, au point de vue 

 de la réduction, l'objet des travaux de Picard et de Poincaré. 

 Appell s'est occupé des fonctions à mvdtiplicateurs, et, dans le 

 cas elliptique, a étudié les développements en éléments simples 

 des fonctions doublement périodiques de troisième espèce. La 

 découverte des fonctions, que Poincaré a appelées /onctions 

 iiichsiennes, et qui restent invariables, par les substitutions 

 d'un groupe linéaire discontinu conser\^ant une circonférence, 

 restera à jamais mémorable. Ces fonctions lui ont permis de 

 faire une représentation paramétrique uniforme d'une courbe 

 algébrique quelconque : c'est là certainement un des résultats 

 les plus profonds obtenus depuis 50 ans en analyse. Les fonc- 

 tions fuchsiennes correspondant à une courbe de genre supé- 

 rieur à l'imité ont comme singularités essentielles soit la circon- 

 férence entière, soit sur celle-ci un ensemble parfait discontinu 

 de points; c'est ce qui résulte d'un théorème général de Picard, 

 d'après lequel deux fonctions unifonnes autour d'un point, 

 liées par une relation algébrique de genre supérieur à un, ne 

 peuvent avoir ce point comme point singuHer essentiel isolé. 

 Il y a des groupes linéaires plus généraux que les groupes 

 fuchsiens; Poincaré les étudie sous le nom de groupes kleinéens- 



