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La circonférence ici est remplacée par des courbes étranges 

 ayant en chaque point une tangente, mais n'ayant pas de cour- 

 bure. 



On peut développer les fonctions non seulement en séries et 

 produits infinis, mais les mettre aussi sous forme de fractions 

 continues. Laguerre et Halphen ont signalé à ce sujet des cir- 

 constances curieuses, et un mémoire de Stieltjes renferme des 

 résultats généraux sur la convergence de certaines fractions 

 continues, convergence qui peut cesser le long de certaines 

 lignes. Au point de vue historique, Laguerre paraît avoir donné 

 le premier exemple d'une série divergente, d'où l'on peut 

 déduire une fraction continue convergente. 



Dans le champ des fonctions spéciales de plusieurs variables, 

 les fonctions abéliennes ont été le plus étudiées. Les mémoires 

 d'Hermite sur la division et la transformation de ces fonctions 

 sont classiques. Poincaré, Picard et.Appell ont donné diverses 

 démonstrations de la relation, énoncée par Riemann, entre 

 les périodes d'une fonction de n variables à 2 w périodes. Cousin 

 a été le plus loin dans cette voie, en étudiant les relations entre 

 les périodes d'une fonction de n variables a. n -\- 2 périodes. Les 

 fonctions abéliennes singulières ont été l'objet des travaux 

 d'Humbert, qui en a tiré des résultats intéressant non seule-- 

 ment la théorie des fonctions, mais aussi la géométrie et la 

 théorie des nombres. On doit à Hermite l'étude de polynômes 

 généralisant les polynômes de Legendre, et il a été suivi par 

 Didon et par Appell qui a découvert aussi des séries hypergéo- 

 métriques de deux variables. Des transcendantes nouvelles 

 présentant un théorème de multiplication et comprenant 

 comme cas particuliers les fonctions abéliennes, ont été intro- 

 duites par Poincaré et par Picard. 



Après les études de Poincaré sur les fonctions fuchsiennes, il 

 était naturel de rechercher des groupes discontinus à deux 

 variables et des fonctions correspondantes. Les types sont ici 

 très nombreux. L'étude des groupes linéaires et de certains 

 groupes quadratiques a été abordée par Picard et l'a conduit 

 aux fonctions hyperfuchsiennes et hyperabéliennes. 



Quand on passe d'une à deiix variables, les différences sont 

 profondes dans la théorie des fonctions algébriques, comme il 

 résulte des travaux de Picard, qui a posé les principes de la 

 théorie des intégrales de différentielles totales et des intégrales 



