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doubles attachées à une surface algébrique, ainsi que de leur 

 périodicité. Les nombres des intégrales distinctes, simples et 

 doubles, de seconde espèce sont deux invariants fondamen- 

 taux de la surface. Il faut y ajouter un troisième invariant 

 découvert aussi par Picard, en relation étroite avec les courbes 

 algébriques tracées sur la surface. Certains points de la théorie 

 des surfaces algébriques peuvent être rapprochées de questions 

 de géométrie de situation, questions difficiles, quand on les prend 

 dans toute leur généralité, et sur lesquels Poincaré a écrit de 

 profonds et difficiles mémoires. Les surfaces hyperelliptiques, 

 signalées d'abord par Picard, ont été étudiées d'une manière 

 approfondie par Humbert, qui a découvert à leur sujet des 

 théorèmes d'une grande élégance. 



Je ne veux pas terminer ce chapitre consacré aux fonctions 

 analytiques sans rappeler que, dans ces dernières années, Borel 

 a insisté sur ce que, des deux notions, V analyticité au sens de 

 Weierstrass, et la monogénéité au sens de Cauchy, c'est cette 

 dernière qui est l'essentiel. La théorie des fonctions analytiques 

 ne serait donc qu'un cas particulier de la théorie des fonctions 

 monogènes. 



IL — Les équations différentielles. 



Au xvii^ siècle, le développement de la dynamique nais- 

 sante fut l'origine des plus grands progrès de l'analyse. Ce fut 

 une époque décisive dans l'histoire de la science que le moment 

 oii l'on se rendit compte avec précision que l'étude des phéno- 

 mènes naturels était susceptible de prendre une forme mathé- 

 matique, et cela surtout, quand le développement de la méca- 

 nique conduisit à postuler que les modifications d'un système 

 dépendent uniquement de l'état actuel de celui-ci ou, tout au 

 plus, de cet état et de l'état infiniment voisin. On fut ainsi 

 conduit à des équations différentielles, c'est-à-dire à des rela- 

 tions entre des fonctions et leurs dérivées. Cette idée a, depuis 

 le XYiii^ siècle, orienté le développement de l'analyse. Les pro- 

 blèmes posés par la géométrie eurent aussi une part dans cette 

 orientation. On voit donc l'importance de la théorie des équa- 

 tions différentielles dont nous allons suivre maintenant les prin- 

 cipaux progrès. 



