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C'est à Cauchy que l'on doit les premières démonstrations 

 rigoureuses de l'existence des intégrales des équations diffé- 

 rentielles. Quand les équations et les données sont analytiques, 

 l'idée essentielle consiste dans la considération de fonctions 

 majorantes; pour le cas général des systèmes d'équations aux 

 dérivées partielles, la démonstration complète a été donnée par 

 Riquier, Delassus et, dans un ordre d'idées un peu différent, 

 par Cartan. Il y eut longtemps quelques hésitations sur la 

 notion même d'intégrale générale pour une équation aux 

 dérivées partielles; Ampère et Cauchy ne se plaçaient pas au 

 même point de vue. Goursat a montré que le point de vue de 

 Cauchy est plus général que celui d'Ampère. 



Sans supposer les éléments analytiques, Cauchy a donné une 

 méthode pour établir l'existence des intégrales des équations 

 différentielles ordinaires; les développements ainsi obtenus 

 restent valables tant que les intégrales restent continues et 

 laissent continus les coefficients différentiels, comme l'ont 

 montré Picard et Painlevé. Pour le problème classique et d'autres 

 plus généraux, quant aux conditions aux limites, on peut uti- 

 liser des méthodes d'approximations successives, dont Picard 

 a donné des exemples très étendus, et qui présentent une grande 

 marge dans leur application, comme l'ont montré ensuite les 

 travaux d'Hadamard, de Coulon, d'Adhémar, de Cotton et 

 autres. 



Les équations linéaires sont particulièrement simples. L'étude 

 des points singuliers réguliers avait été faite en Allemagne par 

 Fuchs. Pour les points irréguliers, Poincaré a fait connaître des 

 représentations asjnnptotiques très cachées des intégrales, 

 valables sur un rayon partant du point singulier, mais pouvant 

 varier quand le rayon change. Une admirable découverte de 

 Poincaré, se rattachant à ses travaux sur les fonctions fuch- 

 siennes, fut l'intégration des équations linéaires algébriques à 

 points singuliers réguliers, au moyen de séries thétafuchsiennes. 

 Parmi les équations spéciales, citons les équations hypergéo- 

 métriques de Goursat, l'équation de Lamé intégrée par Hermite, 

 les équations de Picard à coefficients doublement périodiques 

 et à intégrale uniforme, les équations d'Halphen intégrables 

 par des exponentielles et des fonctions rationnelles. 



Dans les équations non linéaires on ne peut habituellement 

 tirer aucun parti de solutions particulières pour avoir l'inté- 



