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grale générale; c'est ce qui donne un grand prix à un travail de 

 Darboux sur les équations du premier degré, pour lesquelles 

 l'intégrale générale se déduit d'un certain nombre d'inté- 

 grales particulières. Les résultats anciens de Briot et Bouquet 

 ont été d'abord complétés par Poincaré et par Picard, puis 

 ensuite par Autonne et Dulac; mais c'était là une étude locale^' 

 En dehors des points singuliers visibles sur l'équation, il peut 

 y en avoir d'autres variables d'une intégrale à l'autre. Ceux-ci, 

 d'après Painlevé, sont nécessairement des points critiques algé- 

 briques pour les équations du premier ordre, et Poincaré, com- 

 plétant un résultat de Fuchs, avait montré que l'on est ramené, 

 dans le cas des équations du premier ordre à points critiques 

 fixes, à des quadratures ou à une équation de Riccati. Picard 

 avait indiqué que la méthode de Poincaré ne pouvait pas 

 s'étendre au second ordre, à cause de la possibilité d'une trans- 

 formation univoque non birationnelle pour une surface. Les 

 difficultés étaient considérables; elles ont été brillamment levées 

 par Painlevé dans une série de travaux très remarquables qui 

 le conduisirent à tous les types d'équations à points critiques 

 fixes. Dans la voie ouverte par Painlevé, ont marché avec succès 

 P. Boutroux, Gambier, Chazy, et Gamier. 



L'étude des équations différentielles dans le champ réel est 

 capitale pour la géométrie et la mécanique. Poincaré a consacré 

 de nombreux mémoires à la question des courbes définies par 

 des équations différentielles. Le cas le plus simple est celui des 

 équations du premier ordre et du premier degré; la nature des 

 points singuliers, foyers, cols, nœuds, est d'abord discutée, puis 

 sont envisagées les courbes intégrales fermées (cycles) et celles 

 qui sont asymptotes à un cycle limite. Pour les équations du 

 premier ordre et de degré supérieur, le genre d'une certaine 

 surface fermée intervient dans la discussion, et ce n'est pas un 

 des moindres mérites de Poincaré d'avoir montré le rôle de la 

 géométrie de situation dans ces questions. Parmi les recherches 

 qui ont suivi, il faut au moins citer les études de Painlevé sur 

 les trajectoires en d\Tiamique et celles d'Hadamard. Celui-ci 

 montre notamment que l'allure des géodésiques dans les sur- 

 faces à courbures opposées et à connexion multiple peut dé- 

 pendre des propriétés arithmétiques de constantes d'intégra- 

 tion. 



Les conditions pouvant déterminer une intégrale d'une équa- 



