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tion aux dérivées partielles sont très variées. Nous avons parlé 

 du problème de Cauchy; l'étude des cas exceptionnels de ce 

 problème conduit à la notion des multiplicités caractéristiques, 

 vaguement entrevue par Monge et Ampère. Pour les équations 

 linéaires du second ordre à deux variables, la détermination 

 d'une surface intégrale par la condition de passer par deux 

 caractéristiques a été d'abord étudiée. Dans son grand ouvrage 

 sur la théorie des équations aux dérivées partielles du second 

 ordre, Goursat a ajouté aux résultats antérieurs ceux de ses 

 belles recherches personnelles. Beudon, Hadamard, Delassus 

 et Le Roux ont aussi réalisé d'importants progrès dans l'étude 

 des caractéristiques. 



Pour les équations particulières, les conditions aux limites 

 sont le plus souvent fournies par la géométrie ou la physique. Il 

 arrive en général que tous les éléments envisagés sont réels, et 

 la nature des caractéristiques joue un rôle essentiel dans la 

 position des problèmes. Picard a montré que, pour les équations 

 linéaires, toutes les intégrales sont analytiques quand les carac- 

 téristiques sont imaginaires. Les problèmes sont si variés qu'il 

 est impossible de parler de méthodes générales. Cependant, dans 

 des cas étendus, on peut employer les méthodes d'approxima- 

 tions successives de Picard, dont nous avons déjà parlé plus 

 haut; dans d'autres cas, une solution particuhère, présentant 

 certaines discontinuités, joue un rôle essentiel : telle la fonction 

 de Green pour le potentiel. On doit de nombreux travaux sur 

 ce sujet à Poincaré, Picard, Hadamard et leurs élèves d'Adhémar, 

 Le Roy, Coulon, Gevrey. Souvent aussi il y a lieu de recourir 

 à des développements généralisant les séries de Fourier, et dont 

 autrefois Fourier lui-même. Poisson, Sturm, et Liouville avaient 

 donné des exemples. Dans cet ordre d'idées, le mémoire de 

 Poincaré sur la méthode de Neumann renferme des vues ori- 

 ginales et profondes sur des fonctions dites fondamentales. 

 Le grand mémoire de Poincaré sur les équations de la physique 

 mathématique restera particulièrement mémorable; l'existence 

 des harmoniques en nombre infini d'une membrane vibrante, 

 dont Schwarz et Picard avaient étudié les deux premières, y est 

 établie pour la première fois rigoureusement. Depuis lors, la 

 théorie des équations intégrales de Fredholm a permis de traiter 

 autrement les problèmes de ce genre, mais Poincaré aura été là, 

 comme en d'autres domaines, un précurseur. 



