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Laguerre, Darboux et Moutard ; ces deux derniers découvrirent 

 simultanément le remarquable système triplement orthogonal 

 formé de c\-clides. Dans son ouvrage, paru en 1873, sur une 

 classe de courbes et de surfaces algébriques, Darboux a fait con- 

 naître un grand nombre de résultats intéressants sur les courbes 

 cyclides et les surfaces cjxlides, et a étudié les relations de ces 

 dernières avec les fonctions abéliennes hyperelliptiques. A 

 propos de la géométrie de Cayley, Darboux donne une inter- 

 prétation de la géométrie non euclidienne dans un demi- 

 espace euclidien, souvent attribuée à Poincaré. 



Les courbes gauches algébriques ont fait l'objet d'un grand 

 mémoire d'Halphen, qui est peut-être sa plus belle œuvre mathé- 

 matique. Ce travail touche en bien des points à la théorie des 

 fonctions ; c'est aussi une étude profonde de géométrie ana- 

 htique. L'auteur a réussi à énumérer et à classer en diverses 

 familles les courbes gauches d'un même degré; il montre la 

 précision de ses méthodes en donnant, comme exemple, la 

 classification complète des courbes de degré 120. Entre tant 

 de résultats bien dignes de remarque, Halphen fait connaître 

 la limite inférieure du nombre des points doubles apparents 

 d'une courbe gauche de degré donné, et démontre que les 

 courbes répondant à cette limite sont sur une surface du second 

 ordre. 



Certaines surfaces particulières ont attiré particulièrement 

 l'attention des géomètres : telles les surfaces de Steiner et de 

 Kummer. Darboux a indiqué une génération géométrique des 

 lignes as\Tnptotiques de la première, et Picard a montré qu'elle 

 était la seule surface non réglée dont toutes les sections planes 

 sont unicursales. Humbert a fait connaître de nouvelles pro- 

 priétés de la seconde, notamment que toute courbe algébrique 

 tracée sur elle est l'intersection de celle-ci avec une surface qui 

 la touche tout le long de la courbe. Les surfaces de Kummer 

 singulières ont fourni à Humbert le premier exemple du fait 

 très curieux qu'une surface peut avoir une infinité discontinue 

 de transformations birationnelles en elle-même, sans avoir 

 une infinité continue de telles transformations. Dans un ordre 

 d'idées plus particulièrement géométrique, on doit aussi à 

 Humbert de curieux théorèmes sur les aires sphériques et ellip- 

 soïdales, qui étendent à la sphère et à l'ellipsoïde des propriétés 

 fondamentales du cercle et de l'ellipse. 



