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La théorie des formes algébriques avait jadis conduit à la 

 notion d'invariant. Dans une note mémorable, Laguerre fit 

 voir que cette notion peut s'étendre aux équations difteren- 

 tielles linéaires. De son côté, Halphen faisait une étude appro- 

 fondie des équations différentielles restant inaltérées par une 

 transformation homographique quelconque. L'équation diffé- 

 rentielle des lignes droites et celle des coniques donnaient les 

 deux premiers exemples; la découverte d'un invariant du 

 septième ordre amenée par d'ingénieuses considérations géo- 

 métriques permit à Halphen de développer la théorie générale 

 qu'il étendit aux courbes gauches. Après l'apparition de la 

 note de Laguerre, Halphen vit de suite le rapport entre ses 

 recherches antérieures et la notion introduite par Laguerre, 

 et il édifia une théorie complète des invariants des équations 

 linéaires. Il montra ensuite l'intérêt de ces recherches pour le 

 calcul intégral, en apprenant à reconnaître si une équation 

 différentielle linéaire est susceptible d'être ramenée à certains 

 types déjà intégrés. 



La théorie des groupes est fondamentale en algèbre ; elle ne 

 joue pas en analyse un moindre rôle, depuis que le géomètre 

 norvégien Sophus Lie a édifié la théorie des groupes de trans- 

 formations, faisant une étude approfondie des groupes d'ordre 

 fini et posant les bases de la théorie des groupes infinis. Dans 

 les travaux de Lie, la théorie des groupes intervient essentiel- 

 lement comme un principe de classification; dans les appli- 

 cations qu'il a faites de sa théorie aux équations différentielles, 

 celles-ci sont des équations particulières. La théorie des groupes 

 a apparu comme un principe de réduction depuis que Picard a 

 montré comment les idées de Galois sur les équations algé- 

 briques pouvaient être étendues aux équations différentielles 

 linéaires; il a été suivi dans cette voie par Vessiot et par Drach. 

 On doit à Drach d'avoir montré le premier comment la notion 

 de groupe de rationalité pouvait être étendue à toutes les équa- 

 tions différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles; c'est 

 ce qu'il appelle l'intégration logique qu'il oppose à l'intégration 

 géométrique ou intégration par séries. Vessiot s'est occupé 

 de la théorie de Galois et de ses diverses généralisations à un 

 point de vue un peu différent, et a publié de beaux mémoires 

 d'une forme parfaite sur l'intégration des systèmes différentiels 



