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Lagrange sur la possibilité des développements en série de 

 Taylor ont rendu d'immenses services. Les fonctions analytiques, 

 qui sont les seules usuelles, ont pris une importance considé- 

 rable, et l'on a vu plus haut que la théorie de ces fonctions est 

 une branche maîtresse de l'analyse. Un jour devait venir 

 cependant où l'idée de fonction serait approfondie dans toute 

 sa généralité. Cauch}^ dans plusieurs de ses écrits, avait donné 

 plus de précision à certains résultats intuitifs sur les fonctions 

 continues admis sans démonstration. En Allemagne, Dirichlet 

 en donnant des conditions pour la possibilité du développe- 

 ment en série trigonométrique, Riemann en établissant la 

 distinction entre les fonctions intégrables et les fonctions non 

 intégrables, Weierstrass en donnant un exemple de fonction 

 continue sans dérivée, allèrent beaucoup plus loin. En France, 

 le mémoire de Darboux sur les fonctions discontinues marque 

 une date; on y trouve une proposition qui permet de définir 

 de la manière la plus nette l'intégrabilité d'une fonction, et de 

 nombreux exemples de fonctions continues sans dérivées. 

 Jordan a introduit dans cette partie de l'analyse d'importantes 

 notions : telle la notion de fonction à variation bornée. Les 

 courbes dites « de Jordan », séparant le plan en deux régions 

 distinctes, sont également devenues classiques. 



Le géomètre allemand Cantor a fondé la théorie des ensembles 

 de points. On doit attacher une grande importance à la distinc- 

 tion entre les ensembles énum érables et les autres. Il en est de 

 même pour la notion d'ensemble dérivé et d'ensemble parfait. 

 Le nombre des mémoires consacrés aux ensembles est considé- 

 rables : ils sont de valeur très inégale, au moins au point de vue 

 purement mathématique. Un certain nombre d'entre eux n'ont 

 actuellement aucun intérêt mathématique : c'est ce qui arrive 

 pour les études sur les nombres transfinis qui n'ont conduit 

 jusqu'ici à aucun résultat inaccessible par une autre voie. On ren- 

 contre dans cette métamathémaiique quelques paradoxes et des 

 difficultés qui ont fait couler des flots d'encre. Plusieurs de ces 

 difficultés proviennent de ce qu'on ne s'entend pas sur le mot 

 existence, et l'on pourrait faire des comparaisons avec certaines 

 querelles célèbres dans la philosophie scolastique au moyen 

 âge. Reconnaissons d'ailleurs que les discussions des mathéma- 

 ticiens sur ce mot intéressent d'autres questions, notamment 



