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celles qui concernent les théorèmes dits d'existence et se ren- 

 contrent dans diverses parties des mathématiques. 



Nous envisageons seulement la partie de la théorie des en- 

 sembles, qui, jusqu'ici, a été un instrument de découverte entre 

 les mains des mathématiciens; c'est celle qui a été utilisée dans 

 la théorie des fonctions et en géométrie. Jordan avait donné une 

 définition de la mesure d'un ensemble. Borel a repris la question 

 sous un jour nouveau, en utilisant des définitions constructives ; 

 il a aussi introduit la notion importante d'un ensemble de 

 mesure nulle. Dans plusieurs théories, on connaît maintenant 

 des propositions qui sont exactes à peu près partout, en enten- 

 dant par là que réserve est faite pour un ensemble de mesure 

 nulle. Citons, comme exemple, le théorème de Borel, d'après 

 lequel toute fonction bornée définissable analytiquement est 

 égale, sauf, peut-être, pour un ensemble de mesure nulle, à une 

 série convergente de polynômes. Les séries de Fourier et celles 

 qui les générahsent offrent des exemples analogues. 



Riemann, semblait-il, avait approfondi autant qu'il est pos- 

 sible la notion d'intégrale définie. Lebesgue a montré qu'il n'en 

 était rien. L'idée de fonction s&mniahle, qu'il a introduite dans 

 la science, est plus générale que celle de fonction intégrahle de 

 Riemann, au moins pour les fonctions bornées. Une consé- 

 quence de cette notion généralisée de l'intégrale est que toute 

 fonction bornée sommable est la dérivée de son intégrale indé- 

 finie, sauf, peut-être, pour un ensemble de points de mesure 

 nulle. Ces travaux ne sont pas restés sans applications, et les 

 idées nouvelles ont montré leur fécondité entre les mains de 

 Lebesgue et de ceux qui l'ont suivi. La théorie des séries de 

 Fourier notamment s'est trouvée renouvielée. Loin de conduire 

 à des compHcations nouvelles, l'emploi de l'intégration des 

 fonctions sommables apporte d'heureuses simplifications. Borel 

 a repris récemment la théorie de l'intégrale définie en se plaçant 

 au même point de vue que dans sa théorie de la mesure. 



Les notions d'aire et de surface sous leurs formes les plus géné- 

 rales sont liées à la théorie des ensembles. Lebesgue a été très 

 loin dans cette voie, où l'on rencontre vite des énoncés diffé- 

 rents de ceux auxquels on est habitué, par exemple celui-ci : 

 qu'il y a d'autres surfaces que les surfaces développables qui 

 sont applicables sur le plan. 



Baire répartit les fonctions en différentes classes et cherche la 



