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condition pour qu'une fonction d'une variable réelle puisse être 

 développée en série de polynômes. La théorie des ensembles 

 intervient dans la solution; pour le cas d'une série simple, la 

 condition est que la fonction soit ponctuellement discontinue 

 par rapport à tout ensemble parfait. Les recherches de Lebesgue 

 sur les fonctions représentables analytiquement sont connexes 

 de celles de Baire, et posent de graves questions sur le sens qu'il 

 convient d'attribuer au mot défini. 



Il est une branche de l'analyse, qui prend aujourd'hui une 

 grande importance : c'est le calcul fonctionnel. Un des pre- 

 miers chapitres du calcul fonctionnel est le calcul des variations 

 auquel reste justement attaché le nom de Lagrange. Le pro- 

 blème du plus court chemin d'un point à un autre sur une sur- 

 face est sans doute le premier type de problème relatif à ce 

 calcul, qui s'est ensuite développé avec diverses questions posées 

 par la mécanique, et qui englobe aujourd'hui la inécanique 

 analytique tout entière. Le traité que publie en ce moment 

 Hadamard sur le calcul des variations fait connaître les plus 

 récents travaux en cette matière. De nombreux problèmes de 

 l'électricité et de la chaleur relèvent aussi du calcul fonctionnel. 

 La théorie des équations intégrales, brillamment créée tout 

 d'abord en Italie et en Suède par Volterra et Fredholm, a fait 

 en France l'objet de nombreux travaux, parmi lesquels ceux de 

 Le Roux intégrant en même temps que Volterra les équations 

 à limite supérieure variable, de Goursat sur les noyaux ortho- 

 gonaux, de Picard sur les équations de première espèce et les 

 équations singulières, de Marty sur les noyaux sjmiétrisables. 

 Hadamard s'est surtout attaché à mettre en évidence l'influence 

 de la forme de la frontière du domaine dans divers problèmes 

 de physique mathématique, appelant l'attention sur les équa- 

 tions aux dérivées fonctionnelles; il a été suivi avec succès dans 

 cette voie par P. Lévy. L'étude du continu fonctionnel, néces- 

 sitant la création d'un nouveau chapitre de la théorie des 

 ensembles, a été abordée très heureusement par Fréchet. 



L'extension de nos idées sur les fonctions et les opérations 

 fonctionnelles n'est pas la seule qu'aient poursuivie les mathé- 

 maticiens. La question des quantités complexes a fait, surtout à 

 l'étranger, l'objet de nombreuses recherches. Si on laisse tomber 

 la loi commutative, ne gardant que la loi associative, on a une 

 algèbre beaucoup plus générale; un exemple célèbre à quatre 



