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Ce qui caractérise le génie mathématique de Poincaré, c'est 

 sa puissance à embrasser d'emblée les questions dans toute leur 

 généralité et à créer de toutes pièces l'instrument analytique 

 permettant l'étude des problèmes posés. D'autres, et c'est ainsi 

 qu'opèrent la majorité des chercheurs, commencent par s'en- 

 quérir de ce qui a été fait dans la voie qu'ils veulent explorer; la 

 documentation est pour eux un travail préliminaire. Poincaré 

 s'attarde rarement à étudier les travaux antérieurs. Tout au 

 plus, parcourt-il rapidement quelques-uns d'entre eux ; de 

 vagues indications lui permettent de retrouver des chapitres 

 entiers d'une théorie. Au fond, les questions d'attribution lui 

 furent souverainement indifférentes, et le détail de l'histoire 

 des sciences l'intéressait très peu. 



La théorie des groupes fuchsiens et des fonctions fuchsiennes, 

 qui illustra son nom presque au début de sa carrière scientifique, 

 fournit des exemples à l'appui de ces remarques. Quand Poin- 

 caré commença ses études sur les groupes fuchsiens, c'est-à-dire 



sur les groupes discontinus de la forme 



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qui transforment une circonférence en une circonférence ou, ce 

 qui revient au même, un demi-plan en un demi-plan, de nom- 

 breux cas particuliers (depuis Jacobi et Hermite) se rattachant 

 à la théorie des fonctions elliptiques avaient été étudiés. Poin- 

 caré ne les connaissait pas alors; son point de départ est simple- 

 ment le pavage du plan entier par des parallélogrammes égaux, 

 et c'est là qu'il s'élance pour résoudre dans toute sa généralité le 

 problème du pavage d'un demi-plan par un ensemble de po- 

 lygones curvilignes. Il paraît avoit été conduit à ce problème 

 par l'étude qu'il faisait alors de la géométrie non euclidienne 

 de Lobatschewsky, dont Beltrami avait donné une interpréta- 

 tion dans le demi-plan euclidien, les courbes jouant le rôle de 

 droites étant alors des circonférences orthogonales à la droite 

 qui limite le demi-plan. La loi de génération des groupes fuch- 

 siens paraissait extrêmement difficile à trouver. On apercevait 

 assez facilement une condition nécessaire ; par une analyse pro- 

 fonde, où U montre en même temps un sens géométrique très 

 affiné, Poincaré montre que cette condition est suffisante. 



