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C'était là une grande découverte. Il fallait maintenant dé- 

 montrer l'existence de fonctions invariables par les substitu- 

 tions des groupes trouvés. Poincaré forme alors des séries entière- 

 rement nouvelles (fonctions thêtafuchsiennes) qui lui permettent 

 d'arriver au but ; la théorie des fonctions fuchsiennes était créée. 

 Une magnifique moisson allait en sortir : l'intégration des 

 équations différentielles linéaires algébriques à points singu- 

 liers réguliers, et l'expression des coordonnées des points d'une 

 courbe algébrique quelconque par des fonctions uniformes 

 (fuchsiennes) d'un paramètre. 



Mais Poincaré va encore plus loin dans ses mémoires célèbres 

 des premiers volumes des Acla mathematica. Les substitutions 

 des groupes fuchsiens laissaient invariable une circonférence. 

 N'y aurait-il pas des groupes linéaires discontinus plus géné- 

 raux ? La recherche de la génération de tels groupes, telle que 

 la donne Poincaré (groupes kleinéens), témoigne d'une audace 

 extraordinaire; il la déduit de la division d'un demi-espace 

 (espace situé du même côté d'un plan) en jjolyèdres limités par 

 des surfaces sphériques orthogonales au plan limite. Certains 

 de ces groupes kleinéens conduisent à considérer des courbes 

 étranges, smtout pour l'époque, ayant des tangentes mais 

 n'ayant pas de courbure; ce sont elles qui, dans une certaine 

 mesure, jouent pour les fonctions kleinéennes le même rôle que 

 jouait la circonférence pour les fonctions fuchsiennes. 



Les mémoires précédents mettaient, à moins de 30 ans, 

 Poincaré hors de pair. Sa carrière scientifique ne faisait cepen- 

 dant que commencer. D'autres travaux d'analyse pure vont, 

 dans les années suivantes, asseoir définitivement sa renommée. 

 Il généralise en 1S84, dans un court article, le théorème d'uni- 

 formisation des fonctions algébriques d'une variable, en faisant 

 voir que, si y est une fonction analytique quelconque de x, 

 on peut exprimer x et y par des fonctions analytiques d'une 

 variable, uniformes dans tout lem- domaine d'existence. C'est 

 dans ce mémoire qu'on voit apparaître pour la première fois les 

 surfaces de Riemann ayant un nombre infini de feuillets. Poin- 

 caré y est revenu récemment pour compléter quelques points : 

 la question revient, au fond, à établir la possibilité d'une repré- 

 sentation conforme d'une surface de Riemann simplement 

 connexe ayant un nombre infini de feuillets, soit sur un cercle, 

 soit sur un plan entier. L'uniformisation des courbes algé- 



