— 20'f — 



briques, établie d'abord par Poincaré dans sa théorie des fonc- 

 tions fuchsiennes, n'est plus alors qu'un cas particulier d'une 

 loi très générale. Théoriquement au moins, l'étude des fonc- 

 tions analytiques multiformes d'une variable se trouve ra- 

 menée à l'étude des fonctions uniformes. 



C'est un des grands titres de gloire de Cauchy d'avoir créé la 

 théorie des fonctions de variables complexes et d'avoir ainsi 

 ouvert un domaine im»mense à l'analyse mathématique. Cauchy 

 avait considéré les intégrales simples, mais l'extension aux 

 intégrales doubles de son théorème fondamental relatif aux 

 intégrales prises le long d'un contour présentait de très sérieuses 

 difficultés. Poincaré est parvenu à les surmonter. Il définit 

 d'abord avec précision ce qu'on doit entendre par l'intégrale 



double / / F {x, y) dx dy d'une fonction analytique F {x, y) 



de deux variables complexes x et y, prise sur un continuum à 

 deux dimensions situé dans l'espace à quatre dimensions cor- 

 respondant aux deux variables complexes, et il établit que, si 

 le continuum d'intégration est fermé et si l'on peut le déformer 

 sans rencontrer des singularités de F, l'intégrale double garde la 

 même valeur. Ce résultat, capital dans la théorie des fonctions dé 

 deux variables, a posé un grand nombre de questions. Si F est 

 une fonction rationnelle, il y a lieu d'envisager les résidus de 

 l'intégrale double ; si F est une fonction algébrique de x et y, on 

 a été ultérieurement conduit à considérer les périodes de l'inté- 

 grale double. Il nous faut encore citer, dans le domaine des fonc- 

 tions analytiques de deux variables, le théorème d'après lequel 

 toute fonction uniforme de deux variables présentant partout 

 à distance finie le caractère d'une fonction rationnelle peut se 

 mettre sous la forme d'un quotient de deux fonctions entières. 

 La démonstration en est très délicate; l'auteur sait y manier 

 habilement les quatre équations différentielles auxquelles satis- 

 fait la partie réelle d'une fonction analytique, dont la seule 

 considération eût arrêté un chercheur moins puissant. 



C'est dans une période de cinq à six ans (1880-1886) que 

 Poincaré a publié les travaux dont nous venons de parler. 

 Jamais il ne fit preuve d'un plus grand esprit d'invention, 

 jamais n'apparurent mieux ses dons de voyant. Sa merv^eilleuse 

 intuition sautait par-dessus des difficultés qui auraient troublé 

 des esprits obligés d'avancer pas à pas. De son regard pénétrant. 



