— 206 — 



question très délicate, qu'on ne peut espérer résoudre que si les 

 cycles limites sont en nombre fini. 



La question est plus difficile encore pour les équations du pre- 

 mier ordre et de degré supérieur. Il peut arriver ici, contraire- 

 ment au cas précédent, qu'une caractéristique puisse se rap- 

 procher, autant. qu'on voudra, d'un point arbitraire dans une 

 aire convenable. De plus, et cela est capital, le genre riemannien 

 d'une certaine surface fermée attachée à l'équation différen- 

 tielle intervient dans la discussion des caractéristiques. Ce n'est 

 pas un des moindres mérites de Poincaré d'avoir montré Te rôle . 

 de Vanalysis situs dans ces questions; depuis cette époque, il 

 ne -cessa d'ailleurs de s'intéresser aux problèmes de la géométrie 

 de situation, qui exigent une si grande tension d'esprit dans le 

 cas des multiplicités à plus de trois dimensions, et sur lesquels il 

 écrivit de profonds mémoires, d'une lecture difficile. 



Plus complexe encore est le cas des équations d'ordre supé- 

 rieur au premier; les mémoires consacrés aux équations du 

 second ordre sont pleins d'idées suggestives et mettent en évi- 

 dence les éléments fondamentaux du problème. L'étude des 

 points singuliers ne suffit plus ; il est nécessaire d'introduire une 

 notion nouvelle. Soit une courbe fermée quelconque et un 

 domaine comprenant tous les points voisins de cette courbe; 

 il faut étudier la forme générale des caractéristiques à l'inté- 

 rieur de ce domaine, et les problèmes si délicats relatifs à la 

 stabilité se présentent d'eux-mêmes. Tout était à créer dans ces 

 études, alors toutes nouvelles, où Poincaré a été un précurseur 

 et qui ne seront pas de sitôt épuisées. 



Poincaré ne cessait de penser aux applications de ces résultats 

 à la mécanique céleste et d'une manière générale à la mécanique 

 analytique. Comme par une ironie singulière d'un dieu malin 

 poursuivant les mathématiciens qui veulent appliquer leurs 

 études aux phénomènes naturels, la forme des équations de la 

 mécanique analytique correspond aux cas où la discussion est 

 la plus délicate. Le fruit de ces longues méditations fut l'appa- 

 rition d'un ouvrage en trois volumes : Les méthodes nouvelles 

 de la mécanique céleste. L'effort analytique dont témoignent 

 ces volumes ne saurait être trop loué; les méthodes mises en 

 œuvre sont en elles-mêmes extrêmement importantes pour 

 l'analj^se, et peuvent être utilisées pour d'autres questions. 

 Sans doute, le problème de mécanique céleste qu'avait d'abord 



