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l'existence de solutions de même nature pour /j. très petit. Par 

 cette voie est établie dans des cas très variés l'existence de solu- 

 tions périodiques pour le problème des trois corps. Cette étude 

 des solutions périodiques est un chef-d'œuvre. Nous sommes 

 loin avec elles des deux cas particuliers considérés par Lagrange, 

 oii les trois corps restent au sommet d'un triangle équilatéral 

 et où les trois points restent en ligne droite. Outre les solutions 

 périodiques, Poincaré établit aussi l'existence de solutions 

 asymptotiques aux solutions périodiques, et de solutions dou- 

 blement asymptotiques à ces solutions (c'est-à-dire asympto- 

 tiques pour / = — co et <= 4-cc). La démonstration relative 

 à ces dernières était extrêmement diff.cile et, de tous les théo- 

 rèmes dont il enrichit la mécanique analytique, aucun ne coûta 

 un aussi grand effort à Poincaré qui dut se borner ici au cas très 

 particulier qu'il appelait le problème restreint. On peut espérer 

 que les solutions périodiques pourront être employées comme 

 première approximation dans les calculs de la mécanique céleste, 

 mais il serait prématuré de se prononcer à ce sujet. 



Le tome III des Nouvelles méthodes de la, mécanique céleste 

 renferme les parties les plus profondes de l'ouvrage. On avait 

 rencontré incidemment des invariants intégraux, Liouville par 

 exemple en mécanique analytique, et Helmholtz dans la théorie 

 des tourbillons; mais la théorie générale de ces invariants est 

 une création originale de Poincaré, ainsi que les belles applica- 

 tions qu'il en fait à l'étude de la stabilité. Dans des problèmes 

 très étendus de mécanique analytique, il est conduit à démontrer 

 qu'il y a stabilité à la Poisson, c'est-à-dire que, parti d'une 

 position, le système dans la suite du mouvement vient à re- 

 passer, sinon par la même position, du moins par une position 

 infiniment rapprochée de la première. Il est curieux de remarquer 

 que, dans cette question, l'idée initiale de la démonstration 

 est la même que celle utilisée bien des années auparavant dans 

 l'étude de la convergence des séries thêtafuchsiennes. Le théo- 

 rème général sur la stabilité à la Poisson n'est valable que sous 

 certaines conditions qui, en particulier, ne sont pas remplies 

 dans le cas du problème des n corps. Dans ce dernier cas, Poin- 

 caré est conduit à envisager le prolongement analytique des 

 solutions après un choc ('), et il établit que, sauf pour des solu- 



(') Cc^x en approfondissant cette idée, et en ne craignant pas de 



