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tions exceptionnelles, il y aura stabilté à la Poisson pour la 

 trajectoire ou son prolongement analytique. 



Qu'on me permette ici une remarque. Dans des questions 

 relatives à la réversibilité, Poincaré et d'autres après lui 

 s'appuient sur ce théorème général que, dans les mouvements 

 hamiltoniens, il y a stabilité à la Poisson, au sens où nous venons 

 de l'employer. Il ne faut pas oublier qu'il peut y avoir une infi- 

 nité de solutions où se présentent des circonstances analogues 

 au choc, c'est-à-dire des discontinuités dans certaines fonc- 

 tions figurant dans les équations, et pour lesquelles par consé- 

 quent il n'y aura stabiUté à la Poisson qu'en supposant le mou- 

 vement prolongé analytiquement. Ces solutions, qui deviennent 

 d'autant plus fréquentes que le nombre des degrés de liberté est 

 plus grand, ne risquent-elles pas de rendre illusoires les argu- 

 ments invoqués dans les questions concernant la réversibiUté ? 



Les recherches de Poincaré sur la figure des corps célestes 

 témoignent d'une singulière force d'analyse. Il s'agissait d'étu- 

 dier certaines figures d'équilibre d'une masse fluide homogène 

 dont les éléments s'attirent mutuellement suivant la loi de 

 Newton et qui tourne uniformément autour d'un axe. Il est 

 connu depuis longtemps que, si la vitesse angulaire 'x) ne dépasse 

 pas une certaine limite, la figure d'équihbre peut être ellip- 

 soïdale; il y a deux vitesses angulaires ojj et ^)2 (o^ < ',\^, telles 

 que, pour '>y < o.».^, on a les deux ellipsoïdes de révolution de 

 Maclaurin et, pour oj < 'o^, on a en outre une ellipsoïde à trois 

 axes inégaux de Jacobi. L'ensemble des ellipsoïdes de Mac- 

 laurin constitue deux séries de figures d'équilibre variant avec 

 la vitesse angulaire, l'ensemble des ellipsoïdes de Jacobi en cons- 

 titue deux autres. Si l'on considère une de ces figures eUipsoï- 

 dales E d'équilibre avec la vitesse angulaire correspondante 'j), 

 et si l'on donne à 'jj un petit accroissement r,, on peut se de- 

 mander si, pour la vitesse angulaire oj + Tj, il existe des figures 

 d'équilibre, autre que les eUipsoïdes, qui, en variant d'ime ma- 

 nière continue avec r,, se confondent pour r, = o avec l'eUip- 

 soïde E. C'est le problème que se posait Poincaré en 1885, ce 

 qui l'a conduit à une infinité de nouvelles figures d'équilibre; 

 à la vérité, il se borne dans cette recherche à la première 



comprendre dans son analyse le cas des chocs que M. Sundmaun est 

 arrivé à une solution du problème de trois corps ( voir la note ci-des^us) . 



