DÉVELOPPEMENT DE l'aNALYSE MATHÉMATIQUE 29 



progrès de la théorie pure. La voie où celle-ci devait 

 se mouvoir était tracée dans ses grandes lignes, et 

 elle pouvait y marcher avec indépendance sans 

 perdre nécessairement contact avec les problèmes 

 que posaient la Géométrie, la Mécanique et la Phy- 

 sique. On allait attacher en même temps plus 

 d'intérêt au côté philosophique et artistique des 

 mathématiques, confiant dans une sorte d'harmonie 

 préétablie entre nos satisfactions logiques et esthé- 

 tiques et les nécessités des applications futures. 

 Sans insister, rappelons seulement quelques points 

 dans l'histoire de la revision des principes dont 

 Gauss, Cauchy et aussi Abel furent les ouvriers de 

 la première heure. Des définitions précises sur les 

 fonctions continues et leurs propriétés les plus 

 immédiates, des règles simples sur la convergence 

 des séries furent formulées et bientôt on établissait, 

 sous des conditions très générales, la possibilité des 

 développements trigonométriques, légitimant ainsi 

 la hardiesse de Fourier. Certaines intuitions géomé- 

 triques relatives aux aires, aux arcs firent place à des 

 démonstrations rigoureuses. Les géomètres du dix- 

 huitième siècle avaient nécessairement cherché à se 

 rendre compte du degré de généralité de la solutioL 

 des équations différentielles ordinaires. L'assimila- 

 tion avec des équations aux différences conduisait 

 facilement au résultat, mais il ne fallait pas serrer 

 de bien près la démonstration ainsi conduite. 

 Lagrange, dans ses Leçons sur le calcul des fonctions^ 



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