30 LA SCIENCE MODERNE ET SON ÉTAT ACTUEL 



avait apporté plus de précision et, partant de la série 

 de Taylor, il vit que l'équation d'ordre m laisse 

 indéterminées la fonction et ses m — 1 premières 

 dérivées pour la valeur initiale de la variable ; nous 

 ne nous étonnons pas que Lagrange ne se soit pas 

 posé la question de convergence. En vingt ou 

 trente ans, les exigences dans la rigueur des preuves 

 s'étaient accrues. Les deux modes précédents de 

 démonstrations sont, en fait, susceptibles de toute 

 la précision nécessaire. Mais, pour le second, il 

 fallait que la théorie se développât dans une voie nou- 

 velle. Jusqu'ici les fonctions et les variables étaient 

 restées réelles. La considération des variables com- 

 plexes, dites aussi quelquefois imaginaires, vint 

 étendre le champ de l'Analyse. Les fonctions d'une 

 variable complexe à dérivée unique sont nécessai- 

 rement développables en série de Taylor; on retombe 

 ainsi sur le mode de développement dont Lagrange 

 avait compris l'intérêt, mais dont l'importance ne 

 pouvait être mise pleinement en évidence si l'on se 

 bornait aux variables réelles. Ces développements 

 doivent aussi le plus grand rôle qu'ils n'ont cessé 

 de jouer à la facilité avec laquelle on peut les manier 

 et à leur commodité dans les calculs. Les théorèmes 

 généraux de la théorie des fonctions analytiques ont 

 permis de répondre avec précision à des questions 

 restées jusque-là indécises, comme le degré de 

 généralité des intégrales des équations différen- 

 tielles à une ou plusieurs variables, questions de la 



