SCIENCES MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIE 53 



qu'il existe des fonctions continues n'ayant pas de 

 dérivées. Toutes les propositions accordées pour les 

 fonctions usuelles doivent être reprises, quand on se 

 [)lace au point de vue le plus général. 



On rencontre alors des énoncés très déconcertants ; 

 ils sont particulièrement curieux quand on fait des 

 applications géométriques. Quoi de plus simple, 

 seinble-t-il, qu'une courbe dont les coordonées sont 

 des fonctions continues d'un paramètre variant entre 

 deux valeurs déterminées? M. Peano a cependant 

 montré qu'on peut choisir ces deux fonctions de 

 telle sorte que, quand le paramètre varie, le point 

 puisse prendre une position quelconque dans un 

 rectangle ; nous avons donc une courue qui est une 

 aire. De tels résultats nous apprennent à nous défier 

 de nos intuitions les plus simples; c'est ici la 

 revanche de la logique. On aurait aussi beaucoup 

 étonné les géomètres du dix-huitième siècle en leur 

 disant qu'il existe des surfaces développables qui ne 

 sont pas des surfaces réglées. Ces énoncés supposent 

 évidemment qu'on ne fait pas sur les fonctions dont 

 on se sert, les hypothèses particulières admises au 

 début du calcul différentiel. 



Ici une question se pose. Qu'est-ce qui a guidé 

 plus ou moins consciemment dans le choix de ces 

 hypothèses? 11 n'est pas douteux que le souci des 

 applications aux phénomènes naturels n'aie très sou- 

 vent guidé le mathématicien dans son choix. Une 

 hypothèse essentielle a été celle de la continuité. 



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