56 LA SCIENCE MODERNE ET SON ÉTAT ACTUEL 



arrêter ici sur les nombres ordinaux transfinis. 

 Nous donnerons plus aisément une idée des nombres 

 cardinaux transfinis, en revenant aux ensembles. 

 Deux ensembles, entre les éléments desquels peut 

 être établie une correspondance uniforme, sont dits 

 avoir la même puissance ou le même nombre car- 

 dinal. Ainsi l'ensemble de tous les nombres ration- 

 nels a la même puissance ou le même nombre car- 

 dinal que Tensemble des nombres entiers. Ce nombre 

 cardinal, que nous pouvons appeler a, est le pre- 

 mier nombre cardinal transfîni. A l'ensemble des 

 nombres réels correspondra au contraire une puis- 

 sance ou un nombre cardinal différent de a; dési- 

 gnons-le par c. Il existe des ensembles dont la 

 puissance ou le nombre cardinal n'est ni a ni c; 

 ainsi, on peut montrer qu'à l'ensemble de toutes 

 les fonctions possibles d'une variable définies dans 

 un certain intervalle correspond un nombre car- 

 dinal plus grand que c. Ceci suffit à faire entrevoir 

 une sorte d'arithmétique des nombres transfinis, sur 

 laquelle on a déjà publié de nombreux travaux. Il n'y 

 aura lieu évidemment de la développer que si ces 

 vues se montrent fécondes dans l'analyse; la consi- 

 dération des nombres transfinis a permis déjà de 

 découvrir certains théorèmes, mais on doit dire 

 qu'ils ont pu ensuite être obtenus par une autre 

 voie. Quoi qu'il en soit, ces spéculations sur l'infini 

 forment un chapitre tout nouveau dans la science 

 mathématique de ces dernières années. 



