SCIENCES MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIE 65 



formes au postulatum d'Euclide, en posant, qu'il 

 existe des droites équidistantes, ou encore qu'il 

 existe des figures semblables. L'illustre Gauss, qui, 

 dès les dernières années du xviii^ siècle, avait appro- 

 fondi toutes ces questions, sans en rien dire que 

 dans quelques lettres particulières publiées il y a 

 seulement peu d'années, regardait l'axiome d'Euclide 

 comme équivalent à l'assertion que l'aire d'un triangle 

 peut grandir indéfiniment. 



Gomme je viens de le dire, Gauss, craignant sans 

 doute « les clameurs des béotiens », dont il parle 

 dans une de ses lettres, ne publia rien des recherches 

 où il établissait que la négation du postulatum d'Eu- 

 clide n'entraîne aucune contradiction. A la géométrie 

 non euclidienne, où la droite a une longueur infinie, 

 se rattachent les noms de Lobatschefski et de Bolyai, 

 qui, indépendamment l'un de l'autre, édifièrent une 

 géométrie où la somme des angles d'un triangle est 

 inférieure à deux angles droits. Le point de 'départ 

 dé Lobatschefski et de Bolyai est le suivant : étant 

 donnés dans le plan une droite et un point, les droites 

 menées par le point se partagent en deux classes, 

 suivant qu'elles rencontrent ou non la droite don- 

 née. Ces deux catégories de droites sont séparées 

 par les deux parallèles (coïncidentes dans le cas 

 euclidien) que l'on peut mener du point à la droite. 

 L'hypothèse des deux parallèles menées par un point 

 à une droite, caractérise le système de géométrie 

 qu'on appelle souvent géométrie hyperbolique, et 



6. 



