66 LA SCIENCE MODERNE ET SON ÉTAT ACTUEL 



qui correspond au cas de l'angle aigu dans le qua- 

 drilatère de Saccheri, dont je parlais plus haut. Le 

 cas où les deux parallèles coïncident correspond à 

 la géométrie euclidienne ou parabolique] c'est le cas 

 de l'angle droit de Saccheri. Un chapitre fonda- 

 mental de la géométrie hyperbolique concerne la 

 trigonométrie non euclidienne, c'est-à-.dire les rela- 

 tions entre les angles et les côtés d'on triangle. 

 Comme l'avait prévu Lambert, la géométrie hyper- 

 bolique trouve une interprétation dans la géométrie 

 analytique sur une sphère de rayon imaginaire. A un 

 tout autre point de vue, Beltrami donna plus tard 

 de la géométrie de Lobatschefski une représentation 

 remarquable en montrant que la géométrie plane 

 du géomètre russe est identique à la géométrie sur 

 les surfaces à courbure constante négative, du moins 

 quand on se borne à une portion limitée du plan et 

 de la surface correspondante. 



Dans la géométrie hyperbolique, on peut mener 

 par un point deux parallèles à une droite. On peut 

 admettre, au contraire, avec Riemann, que par un 

 point on ne puisse pas mener de droite ne rencon- 

 trant pas une droite ; on aura alors une seconde 

 géométrie non euclidienne dite elliptique, dans 

 laquelle la somme des angles d'un triangle dépasse 

 deux droits. Ici le plan n'est plus infini, c'est-à-dire 

 que les distances sur une géodésique restent finies. 

 La géométrie elliptique peut être interprétée par la 

 considération des sphères de l'espace euclidien ; 



