SCIENCES MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIE 67 



toutefois, cette interprétation n'est valable que pour 

 une portion limitée du plan non euclidien et non 

 pour le plan tout entier. Une autre interprétation 

 dans l'espace ordinaire de la géométrie plane ellip- 

 tique, valable pour le plan entier, a été donnée par 

 M. Klein ; considérons dans l'espace ordinaire l'en- 

 semble des droites et des plans passant par un 

 point, puis les angles dièdres formés par deux tels 

 plans, toute relation entre ces éléments sera la tra- 

 duction d'une relation dans le plan non euclidien, 

 en substituant aux mots droite^ plan, angle dièdre 

 les mots point, droite et angle. 



On s'est naturellement demandé comment on pou- 

 vait être assuré que, dans les déductions des géo- 

 métries non euclidiennes, on ne rencontrerait jamais 

 de contradictions. Les interprétations, auxquelles il 

 a été fait plus haut allusion, sauf celles de M. Klein 

 pour la géométrie elliptique, ne donnent pas une 

 réponse satisfaisante, mais celle-ci peut être fournie 

 par la considération des formules auxquelles on 

 arrive en géométrie hyperbolique et qui ne sont 

 autres, comme je le disais tout à l'heure, que celles 

 de la trigonométrie sphérique ordinaire, en suppo- 

 sant le rayon de la sphère purement imaginaire. 



Toutefois, si l'on est ainsi assuré que le postula- 

 ium d'Euclide ne peut être démontré en restant 

 dans le plan, il reste un doute sur l'impossibiHté 

 de la démonstration en employant des construc- 

 tions hors du plan. L'étude des géométries ne doit 



