68 LA SCIENCE MODERNE ET SON ÉTAT ACTUEL 



donc pas se borner au plan ; ce fut là l'œuvre de 

 Riemann, d'Helmholtz et, il y a quinze ans, de Sophus 

 Lie. Tous trois se placent à un point de vue analy- 

 tique et considèrent l'espace comme une multipli- 

 cité, c'est-à-dire qu'un point est défini par un 

 système de trois nombres qu'on appelle les coor- 

 données du point ; on ne pose plus alors ici la notion 

 de plan et de droite, on part du point comme élé- 

 ment. Riemann a été dans cette voie, alors toute 

 nouvelle, un initiateur. Considérant même des 

 espaces à un nombre quelconque de dimensions, il 

 introduit l'importante notion de courbure d'un 

 espace, généralisant les notions classiques dues à 

 Gauss sur la courbure des surfaces. Particulièrement 

 importants sont les espaces à courbure constante. 

 Un caractère fondamental des espaces à courbure 

 constante est qu'on peutdans ces espaces déplacer une 

 figure sans altérer ses longueurs et procéder dans les 

 démonstrations par superposition des figures. Pour 

 le cas de deux dimensions, suivant que la courbure 

 constante est négative ou positive, on a la géométrie 

 hyperbolique ou elliptique dont nous parlions plus 

 haut. Dans un espace à trois dimensions à cour- 

 bure constante, on a des déplacements possibles qui 

 dépendent de six paramètres, et, en étudiant ces 

 déplacements, on peut envisager à un nouveau point 

 de vue les hypothèses fondamentales de la géométrie. 

 C'est Helmholtz qui posa le premier la question sur 

 ce terrain. La théorie des groupes n'était pas encore 



