" SCIENCES MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIE 71 



et qui montre que les espaceseuclidien et non eucli- 

 dien sont les seuls où on puisse faire logiquement 

 les hypothèses qui, dégagées, bien entendu, de leur 

 forme scientifique, sont regardées, par quiconque 

 n'a pas réfléchi à ces questions, comme ayant un 

 caractère nécessaire. 



La démonstration du résultat précédent est très 

 délicate. Ainsi les mots « sans aucune exception » 

 que nous avons soulignés plus haut sont d'une 

 extrême importance. Si l'on cherche le groupe des 

 mouvements à six paramètres satisfaisant à la 

 seconde condition, on ne trouve que les groupes 

 euclidiens et non euclidiens, mais si on supprime les 

 mots soulignés, on reconnaît qu'il existe d'autres 

 groupes que les précédents. 



Ajoutons encore que les problèmes analogues 

 dans le plan, admettent des solutions entièrement 

 différentes : les espaces à deux dimensions euclidiens 

 et non euclidiens ne sont pas caractérisés par les 

 propriétés qui leur appartiennent uniquement dans 

 le cas de trois dimensions. Cette circonstance n'avait 

 pas autrefois échappé à Helmholtz. Si nous revenons 

 à la question posée tout à l'heure relativement à 

 l'impossibilité de toute contradiction, il est clair que 

 du point de vue analytique où se place Sophus Lie, il 

 n'y a aucune difficulté. 



Au point de vue du géomètre norvégien, l'étude 

 des principes de la géométrie peut donc être regardée 

 comme épuisée, mais on ne doit pas oublier qu'il 



