74 LA SCIENCE MODERNE ET SON ÉTAT ACTUEL 



Le nombre des géométries logiquement possibles 

 est infini ; tout dépend des systèmes de postulats que 

 Ton adopte. Déjà Riemann avait considéré dans sîi 

 célèbre dissertation inaugurale, des géométries dans 

 des espaces à courbure variable d'un point à l'autre. 

 La liste serait longue à dresser des géométries, 

 analogues aux géométries non euclidiennes, qui 

 portent généralement un nom illustre précédé d'une 

 négation. Une des plus curieuses est la géométrie 

 non-archimédienne, où on n'admet pas l'axiome 

 d'Archimède, dont j'ai dit un mot tout à l'heure ; 

 dans cette géométrie, les procédés par exhaustion ne 

 peuvent être employés dans les démonstrations. Ceci 

 est particulièrement intéressant pour la mesure des 

 aires, et on peut faire à ce sujet quelques remarques 

 concernant notre géométrie usuelle. En géométrie 

 plane, deux polygones équivalents sont égaux par 

 addition ou par soustraction, c'est-à-dire peuvent 

 être décomposés en triangles égaux, ou bien peuvent 

 être regardés comme des différences de polygones 

 susceptibles d'être ainsi décomposés. Il n'en est pas 

 de même dans la géométrie de l'espace ; Gauss avait 

 déjà il y a longtemps appelé l'attention des mathé- 

 maticiens sur ce point. On a récemment établi que 

 deux tétraèdres qui ont même base et des hauteurs 

 égales ne sont pas toujours égaux par addition ou 

 soustraction, c'est-à-dire ne peuvent pas être décom- 

 posés en tétraèdres égaux ou être regardés comme 

 des différences de polyèdres décomposables en 



