§ 10. Die Korngröfse der festen Bodenteilchen. 43 



Aach ich habe mich früher, dank einer Anregung von Herrn Prof. 

 Rodewald -Kiel, mit den theoretischen Grundlagen der Schlämmmethode 1 ) 

 befafst und sehe ich mich dazu genötigt, diese hier eingehend wieder- 

 zugeben, in der Hoffnung, so einen klaren Beweis für die Unbrauchbarkeit 

 auch dieses Teiles der mechanischen Analyse zu erbringen. 



Die Schlämmmethode beruht auf dem verzögerten Fall der Körper 

 im Wasser. — Im luftleeren Räume fallen bekanntlich alle Körper gleich- 

 schnell, und es gilt hier die Gleichung: 



dv = gdt, (1) 



wobei v die Geschwindigkeit, t die Zeit und g die Beschleunigung ist. 

 Nun wird aber die Bewegung in Luft, wie in Wasser, wie in irgend einem 

 anderen Medium verlangsamt, und zwar dadurch, dafs das Medium dem 

 fallenden Körper einen Widerstand entgegensetzt, welcher von der Ge- 

 schwindigkeit des Fallens abhängt. 



Bei langsamen Bewegungen, mit denen wir es hier zu tun haben, 

 trifft die einfachste Annahme zu, nämlich die, dafs der Widerstand der 

 Geschwindigkeit proportional ist. Ist nun k die Verzögerung (also eine 

 negative Beschleunigung) bei der Geschwindigkeit 1, so ist k • v die Ver- 

 zögerung bei der Geschwindigkeit v, und es geht somit unsere Gleichung (1) 

 für den Fall der Körper in einem Medium in den Ausdruck 



dv = (g — kv)- dt 

 über oder, da wir die Fallzeit berechnen müssen, in 



dv 



dt = i — i 



g — kv 



woraus sich durch Integration ergibt: 



t = -± r \og{g-k.v) + C. (2) 



Die Integrationskonstante C läfst sich hier derart eliminieren, dafs 

 wir für den Anfang der Bewegung die Zeit (t) und die Geschwindigkeit (v) 

 gleich null setzen. Es folgt dann: 



= -^--log<, + C. (3) 



Subtrahieren wir diese Gleichung (3) von der oberen (2), so fällt C 

 weg, und wir erhalten : i n 



'-T-^-ph*- (4) 



Lösen wir diese Gleichung nach v hin auf, so ergibt sich für die 

 Geschwindigkeit: a i v 



*) A. Mitscherlich, Untersuchungen über die physikalischen Boden- 

 eigenschaften; Landw. Jahrbücher 1901, S. 365 u. f. 



