Gauss ging dabei von vornherein von einer ganz bestimmten Art, 

 die Abbildung zu verwirklichen, aus: als gegeben sah er an eine 

 Kugelfläche und Lichtstrahlen, die darauf fallen — d. h. ein ganz be- 

 stimmtes Mittel, die Abbildung zu verwirklichen : ferner die Tatsache 

 der Brechung des Lichtes — ein weiteres Mittel dazu; ferner ein 

 durch die Erfahrung gefundenes Brechungsgesetz, dem 

 die Strahlen gehorchen; ferner die Foi'derung, daß der leuchtende 

 Punkt in der Achse der Kugeltiäche liegt — kurz lauter Dinge, 

 die mit der Erfahrung rechnen und die schon von vornherein 

 darauf Bedacht nehmen, wie die Abbildung verwirklicht werden 

 soll. Von der einen brechenden Fläche ging Gauss über zur Be- 

 handlung der Aufgabe für zwei brechende Flächen, eine Linse; von 

 da zu Systemen von Linsen; von Punkten, die in der Axe liegen, 

 zu solchen, die ihr unendlich nahe liegen. Mit anderen Worten: 

 Gauss geht von einer ganz bestimmten Art und AVeise aus, durch 

 die die Abbildung verwirklicht werden soll, und von ganz bestimmten 

 Bedingungen, unter denen das geschehen soll; er verallgemeinert 

 dann diese Bedingungen immer mehr und kommt so von der Ab- 

 bildung in einem besonderen Falle zu einer allgemeinen Theorie der 

 Abbildung. Diese Methode, die Philosophie nennt sie Induktion, geht 

 vom Speziellen zum Allgemeinen. — Ein auf diesem Wege gefundenes 

 Gesetz ist aber niemals vollkommen kennen zu lernen : man weiß nie, 

 wo die Grenzen für die Verallgemeinerung, also auch für das durch 

 Induktion gefundene Gesetz, liegen. Man kann daher auf diesem 

 Wege, die Abbildungslehre zu behandeln, niemals zu Resultaten von 

 absoluter Allgemeinheit kommen. Außerdem aber beruhen die so 

 gefundenen verallgemeinerten Resultate immer auf speziellen Voraus- 

 setzungen, gelten also auch nur dann, wenn jene erfüllt sind. Die 

 Beziehungen zwischen Bildpunkt und Objektpunkt, die man so findet, 

 können z. B. schon nicht mehr richtig sein, falls — um einen extremen 

 Fall zu nehmen — es sich herausstellen würde, daß jenes Brechungs- 

 gesetz nicht richtig ist, oder daß man es nicht mit Kugeltlächeu zu 

 tun hat. 

 Abbüdun^^ Eiucn gauz neuen Weg, die Abbildungslehre zu behandeln, hat 

 lehre Abbe eingeschlagen. Er läßt zunächst unberücksichtigt, wie die Ab- 

 bildung verwirklicht werden soll: er spricht zunächst weder von 

 brechenden Flächen noch überhaupt von Brechung, geschweige denn 

 von einem bestimmten Brechungsge setz, sondern nur: von geraden 

 Linien und von dem Begritf ,, Abbildung". Er behandelt die Ab- 

 bildung als eine rein geometrische Aufgabe. Er setzt nur voraus, 

 daß sie durch gerade Linien — auch sie werden „Strahlen" ge- 

 nannt — punktweise zustande komme, so daß je einem Punkt des 

 Objekts je ein (N.B. nur ein) Punkt des Bildes entspricht und zwar 

 in der Weise, daß einer Strahleiigruppe, die durch einen Objektininkt 

 geht, Strahlen entsprechen, die sämtlich durch den zugeh^^rig^n Bild- 

 punkt gehen, wie wir das von zwei konjugierten Punkten kennen. 

 Das ist alles, was vorausgesetzt wird. — Gefordert wird von der Ab- 

 bildung, daß ein gegebener P u n k t des Objekts durch einen Punkt 

 des Bildes wiedergegeben wird; Punkte, die im Objekt auf einer 

 geraden Linie liegen, auch im 15ilde auf einer geraden Linie, 

 und zwar in derselben Reihenfolge nebeneinander liegen, und Punkte, 

 die im Objekt auf (Miier Ebene liegen, auch im Bilde auf einer 

 El)ene liegen. Von der Forderung ausgehend, daß einer Ebene im 

 Objekt auch eine Ebene im Bilde entspricht, untersucht Adhe: Welche 

 mathematischen Beziehungen bestehen dann zwischen den Bild- 

 liunkten und den Objektpunkten V Abbe findet vier Gleichungen, die 



