Knotenpunkte eines zentrierten Systems. 35 



<?, ff, und die dieser gleiche QjfTj mit h, BjH, und die dieser gleiche Bgi/» mit h^, 

 so ist, wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke, 



in A Äi^i^i und RiQ^O ^ : o = ä» : (ä, + ä), 



in A QiS^Fi und (?jÄjP f,:b = h :(hi + h). 



Durch Addition der beiden Gleichungen ergibt sich: 



^ + 1 = '- 



a 



Diese Gleichung ist aber identisch mit Gleichung (6) und da letztere nur 

 durch Umformung von Gleichung (l) entstanden ist, so ergibt sich also, daß Glei- 

 chung (l) gilt, faUs wir die Abstände in der angegebenen Weise von den Haupt- 

 ebenen rechnen. — Daß die Werte fi und a im Sinne unserer dioptrischen Rech- 

 nungen negative Größen sein müssen, ändert, wie leicht ersichtlich, nichts an der 

 Gültigkeit der Formel. 



Entsprechend den beiden Hauptpunkten, resp. Hauptebenen, gibt es 

 auch zwei Knotenpunkte des Systems. Der Abstand des ersten Knotenpunktes 

 vom ersten Hauptpunkte und der diesem gleiche Abstand des zweiten Knoten- 

 punktes vom zweiten Hauptpunkte sind in optischer Hinsicht gleichwertig 

 dem Radius eines einfachsten Systems. Dieser ist zu finden, wenn die Haupt- 

 brennweiten des Systems bekannt sind; er ist gleich der algebraischen Summe 

 der beiden Hauptbrennweiten. 



Letzteres ergibt sich durch Addition der beiden Gleichungen (5); man erhält: 



D 



und durch Einsetzen des Wertes — für D: 



r 



fi-\- f, = r. 

 Die beiden Knotenpunkte des Systems sind durch folgende Eigen- 

 schaft charakterisiert: Ein Strahl, der vor der Brechung gegen den ersten 

 Knotenpunkt hin gerichtet ist, geht nach der Brechung seiner früheren Rich- 

 tung parallel durch den zweiten Knotenpunkt. 



Der Beweis dieses Satzes zerfällt in zwei Teile: 



1. Beweis, daß der zweite Knotenpunkt als Bildpimkt zum ersten Knoten- 

 punkt als Objektpunkt konjugiert ist, daß mithin ein auf den ersten Knotenpunkt 

 hin einfallender Strahl nach der Brechung durch den zweiten Knotenpunkt geht: 



Wenn die beiden Knotenpunkte konjugierte Punkte sind, so muß der Abstand 

 des ersten, resp. zweiten Knotenpunktes vom ersten, resp. zweiten Hauptpunkte in 

 Gleichimg (6) für a und b eingesetzt werden können, ohne daß diese Gleichung 

 ihre Gültigkeit verliert. Dieser Abstand ist aber gleich ^ + A. d. i. die alge- 

 braische Summe der Brennweiten. Man ersieht leicht, daß in Gleichung (6) a und b 

 durch (/"i -\- ft) ersetzt werden können, ohne daß die Gleichung ungültig wird. 



2. Beweis, daß ein gegen den ersten Knotenpunkt hin einfallender Strahl 

 nach der Brechung seiner früheren Richtung parallel ist. 



In Fig. 3 trage ich die algebraische Summe (fi -j- /"») der Brennweiten, d. i. 

 in diesem Falle die Differenz (Fjffj — -FiHi), die ich mit r bezeichnen will, von 

 den Hauptpunkten in der dem Vorzeichen dieser Summe entsprechenden Richtung, 

 d. i. in diesem Falle nach rechts, ab, so erhalte ich die Knotenpunkte iT, und Kj. 

 Femer ziehe ich die Geraden OÄ", und PK^, dann ist OX, ein vom Objektpimkt O 

 ausgehender gegen den ersten Knotenpunkt hin einfallender Strahl, und PjK, ist der 

 zugehörige gebrochene Strahl, weil der gebrochene Strahl sowohl durch den zweiten 

 Knotenpunkt als auch durch den zu O gehörigen Bildpunkt P gehen muß. Es ist 

 also zu beweisen, daß OK^ parallel zu PK^ ist. 



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