36 • Berechnung der Kardinalpunkte eines Systems. 



Ich ziehe noch yon P und O au§, senkrecht zur Achse AA, die Geraden PT 

 und OS, dann ist PT = hj^ und OS^h; ferner ist TFi = (b — f^); TK^ = (& — r); 

 "SF^ = (a — fi); SKi = (r — a), letzteres, weil a, gerade so wie fi, als negative 

 Größe zu denken ist.. 



Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke ergibt sich nun: 



in A §2-^2-^2 und A PTF^ . . . . h:h, = f^'-ib — f^), 



in A OSFi und A -^1^1-^1 • • • . h:hi =z(a — fj:f^. 



Nach einem bekannten Lehrsatze der Arithmetik folgt aus diesen Gleichungen 



h:hi ^= fi — (a — /"i) : (& — /"j) — /i, oder durch Einsetzen von r für (/i -\- f^ : 



h : hl =^ (r — a) : (b — r). 



Demnach sind in den rechtwinkeligen Dreiecken OSKi und PTK^ die Verhältnisse 

 der Katheten einander gleich, die Dreiecke sind daher ähnlich, es folgt 



2X OKiS = 2iPKiT, 



und die Geraden OK^ und K^P müssen also einander parallel sein. 



Wenn demnacli die beiden Knotenpunkte eines Systems bekannt sind, so 

 findet man die Richtung, in der ein zu einem gegebenen Objektpunkt gehöriger 

 Bildpunkt liegt, wenn man durch den zweiten Knotenpunkt eine Gerade parallel 

 zu der vom Objektpunkt zum ersten Knotenpunkt gezogenen Geraden zieht. 



Die Hauptpunkte, Knotenpunkte und Brennpunkte eines Systems heißen 

 die Kardinalpunkte des Systems. Mit ihrer Hilfe läßt sich der Strahlen- 

 gang in dem System in einfachster Weise konstruieren und nach den an- 

 gegebenen Formeln berechnen. 



7. Berechnung der Kardinalpunkte eines Systems. 



Es werden zunächst nur für die ersten beiden Flächen zusammen die 

 Kardinalpunkte berechnet. 



Man sucht zuerst die beiden konjugierten Punkte, resp. Ebenen auf, für 

 welche das Objekt und das nach der Brechung durch die zweite Fläche entstan- 

 dene Bild gleich groß und gleich gerichtet sind, das sind die Hauptpunkte, bzw. 

 Hauptebenen für die beiden ersten Flächen. 



Sei Dj die Brechkraft der ersten, Dg die der zweiten Fläche, (f der reduzierte, 

 d. h. durch den zugehörigen Brechungsindex dividierte Abstand der Flächen von- 

 einander. Sei ferner «i die Größe eines in der ersten der gesuchten Hauptebenen 

 stehenden Objekts, jSj die Größe des durch die Brechung an der ersten Fläche ent- 

 stehenden Bildes, welches zugleich Objekt für die Brechung an der zweiten 

 Fläche ist; das nach der zweiten Brechung entstehende Bild würde also in die 

 zweite Hauptebene fallen und daher gleich «1 sein. Schheßlich seien noch 

 .^1 und Bi, sowie ^2 und B^ die Konvergenzen der einfallenden und gebrochenen 

 Strahlen für die erste resp. zweite Brechung. Es ist dann nach Gleichung (7) 



«1 : /^i =^ ^1 = -^1 ; ßj,:«! = B^: Ai, mithin -^i : ^1 = B^: Aj. 



Durch Einsetzen von (A^ -\- Pj) für B^ erhält man zunächst: 



Ä,:B. = ^+f „de, i^^=^ 



^2 -"l -^2 



und durch Einsetzung von (Ai -\- D{) für B^ in den Zähler links der letzten Glei- 

 chung 



■^\ -^i /Q„\ 



~ W ~T ' ^ *^ 



Für die Brechung an der zweiten Fläche ist aber der Objektabstand gleich 

 dem Bildabstand für die erste Brechung, vermindert um den Abstand der Flächen 

 voneinander, also: 



Ai Bi ' 



