514 Graphisclie Zusammensetzung und Zerlegung von Klangkurven. 



angenommenen Länge der Klangwelle (Klangperiode) und beschrei'bt 

 über ihr als Abszisse erst vier aufeinanderfolgende Sinuswellen entsprechend 

 dem tieferen Tone und darauf die fünf Sinuswellen des höheren. Alsdann 

 wird für jeden Punkt der Abszisse die algebraische Summe der in ihm zu- 

 sammenfallenden beiden Tonordinaten aufgesucht und als Lot aufgetragen. 

 Die durch die freien Endpunkte aller dieser Lote gezogene krumme Linie 

 ist die Klangkurve. Dieselbe wird demnach durch eine algebraische Addi- 

 tion, durch Superposition der Tonkurven gewonnen. 



Bei dieser Konstruktion ist nun vorausgesetzt, daß einerseits die 

 Anfangspunkte der beiden Tonschwingungen, andererseits der Endpunkt der 

 vierten Welle des tieferen und der der fünften des höheren Tones zusammen- 

 fallen, daß also Phasengleichheit besteht. Dies ist aber ein spezieller Fall 

 und der allgemeinere der, daß ein Phasenunterschied, eine Phasen- 

 verschiebung stattfindet, indem der eine Ton um irgend einen Bruchteil 

 einer Schwingungsdauer früher oder später einsetzt als der andere. Fig. 94 

 zeigt die Komposition zweier Töne gleicher Amplitude, deren Schwingungs- 

 zahlen sich verhalten wie 1:2, für die Gangunterschiede , ^'4 , ^j^ , Vi der 

 Länge der kürzeren Welle dargestellt. Für die Zusammensetzung ist immer 

 das Prinzip der Superposition in gleicher Weise maßgebend. Man sieht aber, 

 daß die resultierende Wellenform sehr von der Phasendifferenz abhängig ist, 

 und wenn man bedenkt, daß außerdem die Anzahl der Partialtöne eines 

 Klanges und die Wahl der einzelnen Amplituden beliebig ist, so wird ver- 

 ständlich, daß unendlich viele verschiedene Klangkurven möglich sind. 



Der Mathematiker Fourier^) hat nun gezeigt, daß jede Kurve von der 

 Abszissenlänge Z, welche Gestalt sie auch im übrigen haben möge, in einer 

 ganz bestimmten und nur in dieser einzigen Weise zerlegbar ist in eine Reihe 

 von Sinuskurven, deren Wellenlängen gleich ?, 1/2 ?, ^3 l usw. sind und deren 

 Amplituden und Gangunterschiede sich von Fall zu Fall nach der Methode 

 der unbestimmten Koeffizienten berechnen lassen (wobei einzelne dieser Größen 

 natürlich auch gleich Null sein können). Wie man also Jederzeit aus einer ge- 

 gebenen Anzahl einfacher Teiltöne auf dem Papier eine Klangwelle zu bilden ver- 

 mag, so ist man mittels der Fouri er sehen Analyse, auf deren Einzelheiten hier 

 nicht eingegangen werden soll, auch imstande, aus der gegebenen Klangwelle 

 deren Komponenten wieder zu ermitteln. 



b) Die physikalische Klangzerlegung. 



Das Theorem von Fourier ist für verschiedene physikalische Probleme von 

 Wichtigkeit, und gerade für die Akustik hat es nicht etwa bloß die Bedeutung 

 einer mathematischen Fiktion, sondern einen sehr wesentlichen reellen Sinn. In 

 einem unser Ohr treffenden Klangwellenzuge sind nämlich faktisch alle die- 

 jenigen Teiltöne und nur diese als pendeiförmige Komponenten enthalten, 

 welche auch die mathematische Analyse ergibt. Man kann sich hiervon 

 unter Benutzung diverser physikalischer Hilfsmittel überzeugen, bei denen 

 die Erscheinung des Mitschwingens oder der Resonanz zur Wirkung kommt. 

 Man hebe etwa die Dämpfung eines Klaviers auf und singe mit kräftiger 

 Stimme auf eine nicht zu hohe Note einen Vokal gegen das Instrument, so 



*) Theorie analytique de la chaleur, Paris 1822. 



