530 Summationstöne als Differenztöne höherer Ordnung. 



vielen Obertönen, und nicht in hohen Lagen hervorgebracht würden. So 

 Gr. Appunn, den Frey er i) zitiert. Frey er selbst stimmt ihm zu, ab- 

 gesehen von einem Ausnahmefall, der darin bestand, daß auch Gabeln mit 

 Kautschukringen, welche die harmonischen Obertöne abdämpfen sollten, bei 

 starkem Tönen Summationstöne ergaben ; aber diese Ausnahme ist insofern 

 zweifelhaft, als, wie man jetzt weiß, die Kautschukringe den erwähnten Effekt 

 nur in sehr beschränktem Maße haben. iStumpf^) konnte ebenfalls die 

 Summationstöne, die er am Harmonium, an der Sirene und an Zungenpfeifen, 

 nicht aber bei Flötenpfeifen beobachtete, von den Obertönen herleiten und 

 sie somit für Differenztöne höherer Ordnung erklären. 



Daß dies rechnungsmäßig angängig ist, darauf haben schon Röber 

 (1856), R. Fabri (1860), G. Appunn^) u. a. aufmerksam gemacht mit dem 

 Hinweis, daß 2 h — (h — t) = h -\- t sei. Auch R. Koenig^) ist dafür ein- 

 getreten, daß die Summationstöne im allgemeinen von Obertönen herrührten, 

 verfuhr aber ungenau hinsichtlich der Bestimmung der betreffenden Obertöne. 

 Da ein jüngerer Autor ihm hierin gefolgt ist, dürfte es nützlich sein, an dieser 

 Stelle einige Formeln zur Ableitung der Summationstöne mitzuteilen, nämlich: 



(1) . . . h-{-t = h-\-t-\-ah — ah oder h -\- t = ah — [(a — \)h — t] 



(2) . . . h-\-t = h-\-t-\-at — at oder h-\-t = at — [{a—l)t — h] 



(3) . . . h-^t = h-\-t-\-ah — ah -\- at — at oder h-\-t 



= [ah — (a—l)t} — [(a—l)h — at] 



(4) . . . h-\-t = h-\-t-]-ah — ah -\-ht — ht oder h-\-t 



= [ah — ht] — [(a — 1) Ä — (b + 1) t] 



(5) ah = ht;h-\-t = h-]-t-\-ah — 'bt oder h + t = (a -^ l)h — (b — l)t 



(6) ah = ht; h-\-t = h-^t -\-U — ah oder h + t 



= (h-{-l)t—{a—l)h 



Diese Formeln, die übrigens zum Teil auf zwischenliegende Differenz- 

 töne führen, sind nur anwendbar, sofern die vorkommenden Differenzen positiv 

 sind. Außerdem müssen a und h selbstverständlich ganze Zahlen sein. 



Eine Entscheidung darüber, ob wirklich zwei Primärtöne ohne Mit- 

 wirkung von Obertönen einen Summationston hervorzubringen vermögen, 

 wäre etwa in der Weise zu versuchen, daß man von sämtlichen Tonpaaren, 

 welche rechnungsmäßig einen Summationston als Differenzton höherer Ordnung 

 ergeben würden, je einen Ton durch Interferenz beseitigte. Krueger'') be- 

 richtet über einige hierauf bezügliche Experimente. Allein dieselben sind 

 alle deswegen unzureichend, weil dabei immer nur ein einzelner Oberton 

 berücksichtigt worden ist. Bis auf weiteres wird man daher mit der übrigens 

 keineswegs unwahrscheinlichen Möglichkeit zu rechnen haben, daß es sowohl 

 echte wie unechte Summationstöne gibt. 



Wenn man eine aus zwei Grundtönen h und t nebst diversen Obertönen 

 durch einfache Superposition zusammengesetzte Klangwelle nach Fourier 



^) Wiedemanns Ann. 38, 131, 1889. — *) Tonpsychol. 2, 255, 1890. — ■') Ant. 

 Appunn hat später der Auffassung seines Vaters G. Appunn, daß die Summa- 

 tionstöne Differenztöne höherer Ordnung seien, in einer übrigens nicht ganz ein- 

 wandfreien Untersuchung (Wiedemanns Ann. 42, 388 bis 343, 1891) direkt wider- 

 sprochen. — *) Pogg. Ann. 157, 217 ff., 1876. Exp^riences d'acoustique, Paris 1882, 

 p. 124 ff. — ■'') Wundts Phil. Stud. 17, 278 ff., 1901. 



