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CORRESPONDANCE. 169I. 



bien fceu trouver la ligne courbe, dont l'équation eft j^aaxx oo ^aayy—y* pour la 



foutangente yy k- Mais j'ay de la peine à croire ce que vous dites, qu'il 



y a plufieurs autres courbes qui y facisfonf*), et j'oferois prefque alTurer que 

 cela eft impoffible ; du moins celle que vous apportez aaxx "Xi a'^—y'' ne donne 



pas cette mefme foutangente, mais 



_ "^yy \^^^ — XX 



ax 



, qui eft double de l'autre 



et qui doit eftre prife au delà de x^ à caufe du figne négatif. 



J'ay propofé voftre offre à Mr. Fatio touchant l'efchange de voftre méthode 

 dans cette recherche, contre la fiene dont il s'eft fervi à trouver mes deux autres 

 courbes par leur foutangentes; mais je vois qu'il ne defefpere pas de furmonter 

 la difficulté des Racines, et qu'il ne peut pas fe refoudre à vous envoler un traité 

 affcz long qu'il a fur cette matière. Il avoue au refte qu'elle eft d'une eftude pé- 

 nible et infinie, et il eft feur, dit il, qu'on ne fcauroit venir à bout de tous les divers 

 deguifements poffibles des foutangentcs, ce que j'ay auffi touf jours creu. Je ne laifTe 

 pas de l'exhorter de donner ce qu'il en a trouvé, et je fouhaiterois, Monfieur, que 

 vous en vouluffiez faire de mefme, parce que le Problème eft de grande utilité, 

 quand bien il ne feroit pas généralement refolu. Vous obligeriez auffi le public en 

 produifant voftre méthode des quadratures dont vous venez de donner un fi joli 

 échantillon dans la courbe que je vous avois propofée, fcavoir laaxx oo aayy — 3»% 

 où j'admire certes voilre adreffe et l'excellence de voftre 

 règle, quoique limitée aufïï bien que l'autre, comme je crois. 

 Il m'a falu un affez long calcul pour voir fi voftre qua- 

 drature fe rapportoit à la miene s). Voftre figure AHC eft 

 le quart du 8 que forme cette courbe. Et comme en pofant 

 AC co <«, AG 00 X, G H zoy^ ]/ aa — yy zo z, vous trouvez 



l'efpace AHKCA oo — - — , et l'efpace AHD 00-'^^, 

 ^ 3^1/2 ' 3dri/2 



et par confequent DHKEC oo 



— ■> il s'enfuit que l'ef- 



pace AKCA eft à DHKEC comme le cube de AC au cube 

 de EG, car cette EG eft 2; et que le mefme efpace AKCA 

 eft à CEF comme le cube AC au cube MG. J'avois formé 

 cette courbe en faifant un demi-cercle BNL et dans les 

 droites qui coupent BL perpendiculairement, comme NGE, 

 prenant GE égale aux foutendentes NB, NL, d'où nait aufli 



•*) Voir la note 6 de la Lettre N°. 2664. 



5) Voir, sur la quadrature de Huygens, la pièce N' 



2612 vers la fin du § I. 



