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CORRESPONDANCE. 169I. 



ftrudlion de la Chainette '3^, et plus facilement que par voftre calcul fur la Loxo- 

 dromique, que je n'entcndois pas, et que je n'ay demeflè que longtemps après. Il 



Prop. II. Sit circuli quadrans CFA, sitque 

 mixtilineum STACPS talis naturae, ut (ducta 

 recta ad libitum TM radio AC parallela et 

 quadranti arcum sécante in N) recta TM 

 aequalis sit secanti [CR] arcus AN, sitque 

 mixtilineum SVACPS talis naturae ut (pro- 

 ductà arbitrarià MT in V) rectae CA, MT, 

 MV sint continué proportionales: deindesit 

 Semihyperbola KDL cujus axis PS, vertex K et 

 asymptoton PAL:ducaturad libitum radio CA 

 parallela recta MV, curvas ANP, ATS, AVS 

 secans in punctis N, T, V, et per punctum T 

 ducatur radio PC recta parallela TR Hyper- 

 bolae occurrens in puncto D. Dico Sectorem 

 Hyperbolicum KPD aequalem esse semissi 

 Figurae VACM, quae Figura (ut in antécédente demonstratum est) aequalis est superficiel 

 cylindricae conflatae ex omnibus secantibus arcuum infinitorum NA piano APC in debitis 

 suis punctis N normaliter insistentibus. 



Consectarium. Hinc sequitur, quod Figura VACM semper sit dupla Logarithmi difFe- 

 rentiae inter tangentem et secantem arcus NA, posito radio AK loco unitatis, quod sic probo. 

 Ex punctis K, D in asymptoton PL demittantur perpendiculares lia et Dti; ex demonstratis 

 in Cire, et Hyperb. Quad. manifestum est sectorem PKD esse aequalem Figurae KDtkt, item 

 Figuram KDtict esse Logarithmum rectae Dît positâ Kcr unitate; ut autem Kor ad Dre ita PK 

 radius ad DZ difFerentiam inter tangentem [DW] et secantem [ZW^PW^CR] et ideo 

 posita KA unitate erit idem sector PKU Logarithmus rectae DZ, nempe excessus qua secans 

 arcus NA superat ejusdeni tangentem". 



Comme on le voit, la première proposition réduit le calcul de l'intégrale /secqpi^cjp à la qua- 

 drature de l'aire MVAC, qui, par construction, est identique avec l'aire homonyme de la 

 figure de la note 9 de la Lettre N°. 2699. 



Dans la seconde proposition cette aire est remplacée par une aire hyperbolique, qui se calcule 

 facilement de la manière indiquée dans le Consectarium, parce que PW=CR^sec ACNpar 

 construction, et WD = j/'PW'— PK^ = ]/^sec= ACN"^^ = tg A C N, par suite de l'équa- 

 tion analytique de l'hyperbole équilatère KDL. 



D'après ce «Consectarium", on aurait la relation | sec qp </qp =2l(sec qp — tg(jp)=2l — 



= 1 



I — sinqp 



qui ne diffère de la vraie relation | sec 9 (^(jp=| 1 



/^ 



I -f-sinçi 



cosqp 



T . — ' ^u. i.^ u.i.wu.,10 ..o,^ i^,»...w.i , ^^^^..^ — j, . -. que par le signe 

 i-j-sinqp ^ J I — sin(jp ^ ^ » 



et par le facteur 2, qui s'y est glissé par mégarde, puisque Gregory a oublié que le carré 

 décrit sur l'axe de l'hyperbole PK comme diagonale est égal à | et non pas à l'unité et qu'on 



Dît 



doit donc égaler l'aire de la figure hyperbolique KDna à la moitié du l j^- • 



'5) On rencontre cet achèvement, sous la date du icr octobre, à la page 1 27 verso du livre G. En 

 se servant des recherches de Gregory, Huygens y démontre que l'aire ifctipz de la figure 5 de 



