200 CORRESPONDANCE. 169I. 



omnia circa Cycloidem inventa pluraque alla fimiliter ex tali calculo analytice 

 derivantur. 



Scd ut nortrLim inltitutum profeqiiamur. Prodiicatur 

 (B) (G) dum tangenti TG itidem produélae occurrat in 

 E, conllat piinfta (G) et E haberi pOiTepro coincidentibus, 

 (en recftam (G) G, qiiae jungat duo curvae piinfta inafligna- 

 biliter dirtantia, produdlam eiïc ipfam curvae tangentem. 

 Cum dudum ab aliis explicatum fit, reftam quae curvam 

 fecat in duobus punélis, tranfire in tangentem eo cafu, quo 

 duo feétionis punfta coincidunt. Itaque EL non minus 

 quam (G) L poterit vocari dy^ et ob triangula TBG et 

 GLE fimilia fiet TB ad BG, ut GL ad LE, feu t:y:: dx:dy, 

 idque Ipfum efl: quod diximus fubtangentialem t. efie ad ordinatanij» ut dx ele- 

 mentum abfciffae ad ^^ elementum ordinatae, et quia proinde ^r^î^i^x:^^, fiet 

 t-z=.y dx:dy, qui eft generalis valor fubtangentialis. Et hune conjungendo cum 

 fpeciali valore quem natura problematis offert, pervenitur ad aequationem dilTe- 

 rentialem, quam ubi convertere licet in fummatricem puram, habetur reduftio 

 problematis tangentium inverfi ad Quadraturas. 



Quae reduftio ut intelligatur melius, ofiendam (quod moment! cfi: maximi): 

 Quandocttnque proprietas tangentium data exhibet valorem fubtangentialis per 

 folam (ex indeterminatis) abfcijjam vel folam ordinatam^ problcma reducitur aa 

 Quadraturas. Ponamus enim / dari par x, utique quia f=y dx: dy^ fiet dy ly ■^= 

 z=dx : t., adeoque f'dy : y = fdx : t. Jam fdy : y pendet ex quadratura Hyper- 

 bolae, et fdx : t etiam pendet ex aliqua quadratura ejus nempe figurae cujus or- 

 dinata cil i : /, pofito nempe pro ?poni ejus valorem per x itaque res redufta elt 

 ad quadraturas. Excmpli cauia, fi efl"et t:^i: x, fieret J'dy : y = fxdx = i xx; 

 et ita curva propofita habetur ex quadratura Ilyperbolae. Si effet r= i :]/^i — xx, 



ûoret fdy : y := fdx ]/^i— XX., atque ita curva quaefita haberetur ex fuppofita 

 quadratura tam circuli quam hyperbolae. 



Similiter fi t detur per ^, quia t = ydx:dy, fiet dx-=dyt:y adeoque 

 x-=fdyt:y. Quod fi jam ex problemate detur vaior ipfiusrper3r, intelligi 

 poterit cujufnam figurae quadratura fit opus: nam ponamus efîe t-=y., fiet x = 

 fdy id ei'i:x=5, et linea quaefita eil refta. Si Çnt = yy, fietx:= fdy y 

 {"eu X ^= yy : 2, et linea quaefita eft Parabola. Si t :=. y ^, fiet x ^= fdy yy:, (eu 

 x=:y^: 2 et linea eft parabola cubica. Si t fit conftans, verb. gr. fi ?= i, fiet 

 x-=fdy:y, adeoque linea quaefita pendet ex quadratura Hyperbolae. Si /fit irratio- 



nalis, res itidem procedet, nam fi ponatur f^y\/ i — yy., fiet x '=-fdy \/ i —yy-, 

 adeoque linea quaefita pendet ex quadratura Circuli ^). 



'■'') En cet endroit I luygens écrivit en marge la lettre {<. Voir la remarque F) à la fin de cette pièce. 



