CORRESPONDANCE. l6ç2. 223 



l'Hyperbole, du Cercle et autres, au lieu que par la méthode de Mr. Fatio l'on 

 trouve l'équation de la ligne cherchée fans aucune necefllté d'en quadrer d'autres. 

 Vous n'enfeignez donc pas à difcerner fi la ligne cherchée cil: géométrique ou 

 non, et s'il faut ces quadratures de l'Hyperbole et autres pour la conltruire. 



Par exemple, fi la foutangente eil *), la conrtruélion de la courbe 



t ' ^ aa+yy ^' 



cherchée fe réduit par voftre méthode à la quadrature de l'Hyperbole et à celle 



û^ hx I OCX 



de la courbe z oo , '°). Et de mefme fi la foutangente eft- ~, "\ 



y^ + aay ^ ° %b + x ^ 



vous viendrez derechef à la quadrature de l'Hyperbole et à celle d'une autre 



courbe, au lieu que Mr. Fatio n'a befoin d'aucune. On ne tient donc rien par 



voltre méthode, fi on ne Icait trouver les quadratures quand elles font poflibles, et 



') Il s'agit de la soustangente déguisée de la courbe aaxx-\-xxjj — aayy^=o, que nous 

 avons rencontrée plusieurs fois dans cette correspondance. (Voir les pièces Noj. 2624 

 et 2625, note 20, N°. 2669 § II, N°. 2672 et 2673). En effet, l'équation différentielle 

 y'^flx -\- aaydx — tiaxdy ^ o, à laquelle on arrive, avait été intégrée à la page loi 

 verso du livre G, à l'aide de la méthode de Fatio. A cet effet, elle avait été multipliée 

 par T-' pour rendre „pur" le premier terme qui n'avait pas de terme „correspondant", 

 et ensuite par le „transfbrmateur" x. De cette manière fut obtenue l'équation trans- 

 formée xdx -{- aaxy-"^ dx — aaxxy—3dy = o, sur laquelle Huygens remarque: „Le 



I i7ÛXX l I ÛÛXX 



terme générateur sera ^— et l'autre — xx, et l'équation de la courbe sera 1- 



b 2 .1131 2 ' 2 jy 



A — XX /?« = o ou bien aaxx + xjfvv — aa-^-s = o estant réduite. Au lieu de aa on 



I 2 2 .... 2 



pouvait mettre — ab ow — - bb Qt on aurait trouvé toujours la soustangente comme 



elle a esté proposée. Mais il faut que ce terme connu soit ajouré et cela avec le signe — 

 parce que les 2 autres termes ont-)-"; et il ajoute encore en marge: „I1 valait mieux 



de mettre — bb au lieu de aa. Et dire que supposant — bb égal à — aa, on venait à 



l'Equation réduite comme elle est icy". 



'°) La minute ajoute: «Comment scauroy-je que celle que je cherche est une ligne géomé- 

 trique". 



") L'équation ibydx-\- xydx — bxdy — xxdy = o, amenée par cette valeur de la soustangente, 

 avait été intégrée à la page 1 1 1 du livre G à l'aide du transformateur x~^, obtenu, comme 

 toujours, par une application systématique de la méthode de Fatio, telle qu'elle est décrite 

 dans la lettre à de l'IIospital du 23 juillet 1693. En effet, par la multiplication avec ce trans- 

 formateur on obtient l'équation ibyx—'''dx-\-x—^ydx — bx—'^dy — jc—' (/y = 0, qui donne, 



«adjungendus terminus aliquis cognitus totidem dimensionum, ut , l'équation génératrice 



h h 



— byx—'^ — yx~^-\- =0, c'est à dire l'équation de l'hyperbole: — by — xy-\- x'^^^o. 



