326 CORRESPONDANCE. 1692. 



que vous l'avez réduite à la quadrature de l'hyperbole, en y reduifant lacourbe 



dont l'équation efl: — oo x, ce qui doit eftre poiTible s), mais il n'eft 



yyaa+yy 



pas aife; et fi vous avez quelque règle pour cela, ce que je feray fort aife de 

 fcavoir, je l'eftime extrêmement. J'entrevois un autre chemin, par ou vous pour- 



riez avoir pade, qui efl: de trouver qu'a la foutangente *^-i- — 



voftre courbe géométrique aay + laaz 1/ 2 oo ^yzz^^ mais ce chemin eft plus 



convient 

 a 



5) Voici comment cette remarque est motivée plus amplement à la page 107 du livre H : „ll a 

 réduit la connoissance de la somme des aady : 31 '\/ aa -}- Jj dans la portion AB, à la quadra- 

 ture de l'Hyperbole. 



„Comme les d~j sont de petites lignes égales, si on met une ligne donnée, comme a au lieu de 

 d"j, on aura aaa : ;y \/^aa-\-yy; laquelle supposant =x, on aura une ligne courbe dans la- 

 quelle toutes les appliquées x seront à autant de a, comme la somme des aady •y\/^oa^yy 

 à autant de dy dont la somme est connue. Et partant si on trouve la quadrature de cette 

 courbe a^ : y 'l/ aa -\- yy = x, ou bien «* = /7i7jrjry3i-)" 3'*^^"' ^n aura la somme cliercliée des 



aady : y '\/^aa-\-yy. Ou elle sera réduite à la quadrature de l'hyperbole, et par conséquent à 

 la construction par la logarithmique, si la dite quadrature de la courbe se réduit à la quadra- 

 ture de rhyperbole. Ce qui assurément doit estre possible et cela est fort beau s'il a quelque 

 règle pour cela. Car toutes les a, c'est à dire un rectangle donné, compris de FG et de la 

 soutangente a, se trouvent icy estre à toutes les x, ou a l'espace de la courbe, comme la ligne 

 LD— KC à GF llisez: comme GF à LD— KC], c'est à dire comme le ditCZl FG, a à un 

 espace hyperbolique sur l'asymptote (c'est h dire dans l'hyperbole equilatère dont le quarré 

 à l'angle des asymptotes est aa^ duquel espace les perpendiculaires soient en raison des deux 

 (aa'\/~ï-\-a'\/iaa-\-ayy~^ : ay, estant j = EF, et puis3i = EG; car cet espace hyperbo- 

 lique est au quarré de l'angle comme LD — KC à la soutangente /?; donques toutes les dites x, 

 ou l'espace de la courbe est égal à cet espace hyperbolique". (Remarquons qu'en effet, 

 puisque d'après l'énoncé du problème dans la Lettre N°. 2765, les deux valeurs 

 raa'\/^~\-a'l/^2aa-\-!iyy'^: 2y représentent les lignes FI (=EL) et GH (=EK), 



l'espace hyperbolique mentionné égale rt^. l^^i^-=a'(\ 1 -^—J, ou bien, en con- 

 séquence de la propriété principale de la ligne logarithmique : a (LD — KC). 



Ensuite Iluygens ajoute encore: „I1 est plus vraisemblable qu'il ait tenu ce chemin, que 

 celui qui est marqué à la fin de la page loi [_roir la note qui suit]. Car il est malaisé de s'en 

 aviser, et il faudroit avec cela connoitre que y \/^ aa -\-yy:a est soutangente à la ligne géomé- 

 trique 'iZ!,y^=aay-\-'i.aaz\/~i, qui est HOI, ce que je tiens très difficile. Il peut avoir em- 

 ployé cette HOI, trouvée par la précédente réduction pour servir à sa démonstration". 

 ") En supposant inconnue l'équation de la courbe HOI, mais en admettant en principe la con- 

 struction de de l'Hospital, d'après laquelle RS devait représenter a'^dy : y'\/ aa-\-yy, d'où 

 il suivit, par la propriété de la logarithmique, RC (^=zQK = VO^=azdy : y'I/^aa+yypour 



