CORRESPONDANCE. 1692. 349 



tites tangentes de la portion de la Logarithmique, fans les divifer en deux, comme 

 vous avez fait''}, je fuis venu à la quadrature d'une courbe fort compofée, qu'on 

 ne voit pas qu'elle dépende de la quadrature de l'hyperbole 3). Mais j'ay remar- 

 qué en mefme temps que la dite fomme des — 2Z_Z i^e dépend que de la 



quadrature d'une courbe dont l'équation efl: a* + aayy y:> xxyy *\ que j'ay trouve 

 il y a longtemps qu'elle dépend de celle de l'hyperbole s}. Ainfi fans tout ce fubtil 

 détour que vous avez fuivi Monfieur, l'on peut refoudre voftre problème"}. Mais 

 ce que j'ay admiré, l'on vient à vollre mefme dernière conftrudtion, qui s'abrège 

 encore un peu en prenant EC pour BI dans voftre figure '') DG pour AK ^). 



*) Voir la Lettre N°. 2765, au commencement de la «démonstration". 



3) On rencontre cet essai infructueux à la page 153 du livre H, où lu somme desl/^ a^ -\-y- dy.y 



est réduite, par la substitution yz: a-\- a=:l/^a^-\-y'^ , à la quadrature de la courbe: 



x=a^(^a^-\-z-y -.zQa^ — 2-)^; après quoi Huygens ajoute :„Ergo sic ad curvam valde com- 



positam et ignotae quadraturae reductum fuisset problema dimensionis lincae Logarithmicae 



si, ut hic, non fuisset divisa l[=dy'] Y/^aa-\-yy : y in duas. 

 '*) En effet, pour réduire la somme mentionnée à la quadrature /"jcf/jr de cette courbe, il suffit de 



poser x = al/^r>^-\-y^ : 31, d'où il swh a* -j- a^y^ = x'y^ . 

 5) Voir l'Appendice I à cette lettre, notre pièce N°. 2778, qui date, d'après le lieu qu'il occupe 



dans le livre H, de septembre ou d'octobre 1692. Aucune trace d'un traitement antérieur du 



même problème n'a été rencontrée dans les manuscrits. 

 ") Voir la pièce N°. 2779, Appendice II à cette lettre, où nous avons reproduit la solution 



définitive de Huygens du problème en question. 



7) Probablement Huygens veut dire ici qu'on peut simplifier la construction de de l'Hospital en 

 agissant de sorte que EC, dans la figure de la Lettre N°. 2775, s'identifie avec la plus courte des 

 deux lignes (A K et BI) dont la différence, ajoutée à TG— TE, va fournir la longueur de l'arc 

 CD. Et il est clair que cette remarque devait amener, presque nécessairement, la construction 

 abrégée qu'on rencontre quelques lignes plus loin dans le texte de la présente lettre. En effet, 

 pourque la différence AK— CE de la figure de Huygens (celle de la page suivante de la présente 

 lettre) devienne égale à la différence AK — BIde la figure de de l'Hospital (celle de la Lettre 

 N°. 2775), il suffit qu'on ait EL : KL (figure de Huygens)=LI : KL (figure de de l'Hospital). 

 Posons donc dans la figure de de l'Hospital : LG==3', (=LD figure de Huygens), LE=,73 

 (=LE figure de Huygens), GH^LI = 2,, EF = LK = 22, où (d'après la note 3 de la 



•Lettre N°. 2775), ^4-*=l/^^+3'"' ^'ors il faut qu'on ait, dans la figure de Huygens, 



2 y r iX^'+j, ° — a TE— TL 



EL:KL = 2. :2,;doncKL = ELX — = ^^^^= ^ ^^Zll- X:y,= ,f^^r X 



XDL (toujours dans la figure de Huygens, où manque la lettre T, voir la note 10) 



TO TI 01 



= ^^Zr-TE X ^^ C^" prenant TO = TE, TP = TD) = ^ X DL, d'où la construc- 

 tion abrégée mentionnée suit immédiatement. 



8) Cette addition est due probablement à quelque inadvertance. 



