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CORRESPONDANCE. 1692. 



Ce que vous dites de la quadrature de 

 refpace FLM, dans voftrc mefine figure, 

 je le trouve véritable, et que la conilruc- 

 tion fe peut un peu abréger, à peu près de 

 mefme que celle dont je viens de parler. 

 Mon calcul en cecy m'a mené par la courbe 

 la'^ zo aax — zzx et par l'hyperbole'). 

 Puis que j'ay trace la figure "), je puis en 

 3 mots adjouter a quoy fc réduit vortre 

 conllruétion de l'autre problème. C'efl: 

 qu'aiant pris TPooTD et TO oo TE, je mené OK parallèle à PD et j'applique 

 les lignes EC, KA, alors la différence des KA, EC, avec PO font enfemble la 

 longueur de la courbe DC "). Mais ces conftruftions font peu de chofe après 

 la folution du problème. 



Vous aucz fort bien et favcmment refolu toutes les quertions que je vous 

 avois propofées, et il paroit que vous avez aulfi la règle de Mr. Fatio '^) que 

 Mr. Lcibnits n'a pas '3). Vous ne pouvez non plus ignorer, Mons.r, comme 

 je crois, une méthode peu connue ''•), que j'ay débrouillée il n'y a pas long- 



') Voir l'Appendice III à cette lettre (notre pièce N°. 2780), datée du 18 décembre 1692. 



'°) 11 y manque la Lettre T au bout droit de la droite POLM. 



") L'origine probable de cette construction à déjà été indiquée dans la note 7. Ajoutons que 



la courbe LF, quoique tracée dans la figure, ne joue plus aucun rôle dans la construction. 

 '-) On peut consulter sur cette règle les Lettres N°. 2465, note 11; N°. 2660, note 17 et 



N°. 2677, note 9. 

 ■5) Comparez la Lettre N°. 2733. 

 "•) D'après les annotations que l'on rencontre dans le livre II, et que nous avons reproduites 



dans les §§ VII, VIII et IX de la pièce N°. 2781, il s'agit ici d'une méthode, exposée par 



Fermât dans le traité mentionné dans la note 27 delà Lettre N°. 2693, aux pages 51 — 57 des 



Opéra Varia (p. 271 — 285, Tome I de l'édition récente des Œuvres de Fermât par Tannery 



et Henry). 



Cette méthode est fondée sur un théorème qui équivaut, en notation moderne, à la 



relation : 



ï m 1 m m \ m — i » 



I 31 dx = x,% — x,y, —iii\ xy dy. 



où les intégrations sont supposées s'étendre le long d'une courbe quelconque. 



Voici un exemple de l'emploi que Fermât propose de faire de ce théorème pour déduire 

 des quadratures nouvelles: Il part de l'équation y^ = a^x—' — a'^x—^, pour laquelle l'in- 

 tégrale fy^dx se calcule facilement au moyen de la quadrature connue des courbes 

 xi'yi^^al'+'J, dont la théorie est exposée plus haut dans le même traité déjà mentionné. On 



