CORRESPONDANCE. 1692. 



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x^y 



— ^°)-> "î"' femblent eftre du genre dont eft la première de vos 



deux précédentes et peut-eflre celle de la courbe de Mr. de Beaune. 



Je vois que Mr. des Cartes fait mention 3^) de la folution 3=) qu'il auroit envolée 

 pour cette ligne,mais je doute fi elle aura eftè meilleure que celle qu'il donne pour la 

 logarithmique33).S'il revenoit au monde il trouveroit la géométrie bien augmentée. 



3°) D'après la page 156 du livre H, cette dernière expression représente la soustangente 



y~—= —4 de la courbe x'^ — x'y-\-a^y = o „déguisée" au moyen de la substitution 



x-=x^y-'~\-a^,App\iqMéeiu numérateur et au dénominateur; comparez la note^)de Huy- 

 gens. De même la note «) indique l'hyperbole aa = ax — jfjf comme la courbe dont la pre- 

 mière expression a été déduite. On peut consulter d'ailleurs, sur la solution générale des équa- 

 tions différentielles auxquelles ces expressions pour la soustangente donnent lieu, une des 

 notesde la lettre de de rilospital à Huygens du 12 mai 1693. 

 3') Dans sa lettre de 1645, citée dans la note 4 de la Lettre N°. 2765, où il s'exprime comme il 

 suit: „Cette question [le problème de de Beaune] me fut proposée, il y a cinq ou six ans, par 

 Monsieur de Beaune, qui la proposa aussi aux plus célèbres Mathématiciens de Paris et de 

 Thoulouze; mais je ne sçache point qu'aucun d'eux luy en ait donné la solution, ny aussi 

 qu'il leur ait fait voir celle que je luy ai envoyée". 

 3') La solution fut envoyée à de Beaune dans une lettre du 20 février 1639, qui constitue le 

 N°.CLVI du Tome II de la correspondance de Descartes publiée par Adam et Tannery (voir 

 les pages 514 — 517 et les annotations des éditeurs aux pages 520— 523). Cette lettre était 

 accessible à Huygens dans l'édition de Clerselier où elle paraît comme le N°. 71 du 

 Tome III, et sans doute il en avait pris connaissance autrefois (voir encore la note suivante); 

 mais il semble qu'il n'y aît pas reconnu alors une solution du problème de de Beaune, lequel 

 problème, en eiFet, n'y est pas mentionné expressément. 

 33) Il est presque certain que Huygens a ici en vue la construction de la courbe elle-même, qui 

 constituait la solution du problème de de Beaune, mentionnée dans la note précédente. Voici 

 comment Descartes s'exprime sur la courbe en question : 



„En la deuxième AVX [de vos trois lignes 

 courbes], dont le sommet est A, au lieu de 

 considérer l'axe AY avec son ordonnée XY, 

 j'ay considéré l'asymptote BC, vers laquelle 

 ayant mené des ordonnées parallèles à l'axe, 

 comme PV, RX, &c., et des tangentes comme 

 AC, ZVN, GXM, &c., j'ay trouvé que la 

 partie de l'asymptote qui est entre l'ordonnée 

 et la tangente d'un mesme point, comme PN, 

 ou RM, &c. est tousiours égale à BC, ainsi que 

 vous verrez facilement par le calcul". Après 

 quoi il procède à donner une construction ap- 

 prochée de la courbe AVX. 



Or Huygens aura reconnu sans doute qu'on 

 n'avait qu'à „perpendiculariser" pour ainsi dire 

 les ordonnées PV, RX pour transformer cette courbe dans la„logarithmique" à soustangente 

 constante dont il s'était tant occupé. 



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