CORRESPONDANCE, 1693. 429 



quantitate fubtangentis, lorfque cette ligne eft ordinaire '). Mais je n'ay pas 

 encore le loifir et la patience necefTaire pour mettre en eftat tout ce qu'il faut pour 

 pratiquer cette méthode, et en attendant je fuis réduit à me fervir de quantité 

 d'adrefles particulières, à peu prés comme on faift pour refoudre des problèmes 

 femblables à ceux de Diophante. 



Quant à la courbe de M. de Beaune, dont la foutangentielle ferokyy—xy.a, 

 je l'ay voulu confiderer prefentement, parce qu'elle eft fimple et je trouve, qu'elle 

 dépend de la courbe des Logarithmes en telle façon, que le logarithme eftant^?, x 

 fera la différence entre le logarithme et la fubnumerale. J'appelle icy la foufnu- 

 merale 2, fuppofé que le nombre du logarithme eft le quotient d'à divifé par 



^ — 2 5)- 



Il faut avouer, Monfieur, que vos découvertes fur la quadrature de la galande 

 de Mr. de Roberval font extrêmement belles, j'entends la ligne 

 dont l'équation ei\ x^ + y^=zf}xy. Comme cette ligne eft d'une 

 nature fimple, et que les coordonnées y font homoeoptotes 

 comme dans le cercle, j'ay aufli voulu tacher, fi j'en pourray 

 trouver la quadrature, et j'en ay enfin trouvé cette conftrudion 

 générale") que le triligne ABCDAeft à ^ ny — ^xx comme lequarré de l'abfcifte 

 X, ou AB, eft au quarré de l'ordonnée y ou BC *). 



Je n'ay garde de m'attribuer par avance la connoifl^ance de cette fource nou- 

 velle, que vous avés trouvée pour quantité de problèmes des quadratures et des 

 fubtangentes. Il fe pourroit que j'en fçufte quelque choie, mais je craindray 

 pluftoft que non; car je voy qu'on peut employer quantité d'adrelTes particulières, 

 et je ne doute point, qu'il n'y en ait beaucoup, qui me font inconnues, quoy ^u'il y 

 en ait aufii beaucoup que j'ay employées en temps et lieu. Je me fers quelques fois 

 avec fucces des ferles infinies. Car toutes les fois qu'on donne un problème tan- 



5} C'est-à-dire *'=3' — 2; y = ^l -^^ ; solution correcte. 



*) On aurait donc, d'après Leibniz, aire ADCB A =— nx^y~' x^y~' , c'est-à-dire, après sub- 



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stitution dans le second terme de la valeur :if' ^ «jry — y^,aiK ADCBA=-2nx'y~' -\ xy, 



ce qui est faux évidemment puisque cet aire ne peut pas excéder celle du triangle ABC.Huy- 

 gens n'a pas manqué de remarquer cette méprise, comme on le voit par le contenu du lambeau 

 de papier que nous avons reproduit dans la dernière note de la présente lettre. Huygens y 



I I WVT 



substitue, dans la proportion indiquée par Leibniz, la valeur véritable— jcj» — -p^^de l'aire 



du triligne, telle qu'il pouvait la déduire facilement au moyen du résultat mentionné dans les 

 dernières lignes de la pièce N°. 2793, ce qui conduit à une absurdité. Ce n'est que plus tard 

 (voir sa lettre à de l'Hospital 10 septembre 1693 et celle à Leibniz du 17 septembre 1693) 

 qu'il découvrit que la formule de Leibniz devenait correcte si on l'applique au mixtiligne 

 AEBA, en posant EB=j. Voir encore la figure de la note 13. 



