446 CORRESPONDANCE. 1693. 



N= 2805. 



Le Marquis de l'Hospital à Christiaan Huygens. 

 12 MAI 1693. 



Jm lettre se trouve à I.eiden, coll. Hiiygem. 

 Elle a iti publiée par P. J. Uylenbrock '). 



Elle est la réponse au No. 2801. 

 C/ir. Huygens y répondit par le No. 2806. 



Je crois que vous ne ferez pas fâché, Monfieur, de voir ici la règle dont je me 

 fuis ferui pour refoudre les queftions, que vous m'auez propofécs ') qui regar- 

 dent la méthode inuerfe des tangentes, et d'autant plus que vous m'auez marqué 

 en auoir quelque curiofité. 



le, qucftion. On demande la nature de la courbe, dont la foutangente eft 



ix—^i c'eft-à-dire en termes d\ïïeTcnt\e\sydx=2xdy—-^^^^- Toute ladiffi- 



2X "^ "^ 2X 



culte fe réduit maintenant à diminuer le nombre des termes de cette équation afin 

 de paruenir à vne qui n'en ait que deux, et que l'on poura par confequent con- 

 ftruire foit en prenant les forames, foit en fuppofant les quadratures. Je fuppofe 

 donc pour réduire les deux termes y^A" et axdy en vn feul, x = w;j»% ce qui donne 

 dx = 2mydy + yydm, et mettant à la place de x et de tix leurs valeurs dans la 



ire. équation on trouue amyydy -h y^dm = 2myydy— ^^^i qui fe réduit à 



imdm = ^, et prenant de part et d'autre les fonimes il vient mm = iy- + n 



(ou l'on doit remarquer que j'aioutte ou retranche vne quantité confl:ante/7, parce 



qu'autrement la courbe deuiendroit vne ligne droite) c'efl: a dire en mettant pour 



mm fa valeur arxy— 4, et ordonnant l'égalité laaxx = aayy =F '^y'^'^-, qui eft 



l'équation qui exprime la nature de la courbe cherchée. La quadrature de l'efpace 



... . . -. aayy+ av* , «idyA/^a+iyv 



curviligne le trouve ainli, on a xx = — ''-^ ^, et partant xay^=-''-''— -^rrz — -- 



^ ^aa ^ -> a\/2 



dont la fomme^ — 'JL^^jJ^ V . "*" jy donne la quadrature du complément de 



l'efpace curuiligne ■"). 



') Clir. Hugenii Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 259. 



^) Voir, sur ces questions, la Lettre N°. 2768 à la page 328 et la réponse de de l'Hospital 

 notre N°. 2775 à la page 345. 



5) C'est-à-dire, du moins au cas — 23»*, de l'aire ECD dont il est question dans la Lettre N°. 2775 

 à la page 345. Pour le cas -|- 231^ consultez la note 12 de la même Lettre N°. 2775. Dans ce 

 cas il n'y pas d'„espace" qu'on saurait considérer comme un «complément". 



