CORRESPONDANCE. 1693. 447 



«p3 



2e. queftion. On demande la courbe qui a pour foutangente 2x-\ cette 



queftion fe refout de la mefme manière que la précédente. 



3e. queilion. Il faut trouuer la courbe qui a pour équation différentielle 

 aaxdy = 2,aaydx — ixyydx -h axxydy^ ou divifanc par aa, afin de donner vne 



forme conuenable, xdy = 2ydx ■^-^ \ Je fuppofe^^^wx^pour 



réduire les deux termes xdy et "i^ydx ^n vn feul, et j'ay dy^=ynxxdx -\- x^ dm 



ce qui donne, en fubftituant ces deux valeurs, ^^x^dx + x*dm = 2>^nx^dx 



immx^dx + 6mmx''dx + imx^dm ,x . ^ , . v , , 

 5^, qui fe réduit a mdx = — \ xdm + 



■> et ainfi l'équation propofée, qui etoit de quatre termes fe trouue réduite 



i^mx^ 



à vne de trois fur laquelle j'applique de nouueau la règle en fuppofant x = nm—i 

 et partant dx= — ^nm—^ dm+ m—id», ce qui donne par la fubftitution 

 j\.n^dn = aadm, et prenant les fommes n* = aam ou bien en aiouttant ou retran- 

 chant vne quantité confiante, «* = aatn + a, fubllituant enfin dans ces deux der- 

 nières équations à la place de n et de m leurs valeurs xmi et yx—3^ on trouve 

 xy = aa,etyyx — aay^x^ = o, qui font les équations qui expriment la nature 

 des courbes cherchées. 



Jl arriue quelque fois que l'équation différentielle ne peut eftre réduite à vn 

 moindre nombre de termes par cette règle, foit parce qu'elle n'a pas vne forme 

 conuenable, foit parce qu'en diminuant le nombre des termes d'vn coté on 

 l'augmente de l'autre, de forte qu'on n'elt pas plus auancé qu'auparauant. Il faut 

 auoir recours alors à quelque adreffe particulière ce qui fe comprendra mieux par 

 un exemple. Soit propofée l'équation différentielle*) axydx + aaxdx+x^dx — 

 = a^dy +• axxdy *). Si l'on diuifoit par ax^ on pouroit réduire les termes ydx et 

 xdy en vn feul, mais parce que la mefme fuppofition augmente d'vn terme les 

 autres, je prends plufieurs termes pour vn feul en fuppoiant ^<? -h xx = am^ee 



*) Lisez — 'xxxjdy. 



5) Lisez : — (jimmx^dx — Gmmx' dx — imx^dni) : aa. 



") A la page 17 du livre J Huygens essaie d'appliquer la méthode de Fatio à l'équation difFé- 

 rentielle qui suit dans le texte. Il trouve x-'-V pour le «transformateur" (voir, sur ce mot, 

 sa Lettre à de l'Hospital du 23 juillet 1693) des «termes correspondants" axydx et — ax^dy, 

 mais la multiplication de l'équation par ce transformateur rend „impur" l'un ou l'autre des 

 termes yf^nxi" a^xdx,x^dx et — a^dy, quelle que soit la valeur qu'on assigne à l'exposant h, et 

 Huygens en conclut: „Ergo haec aequ°. difFerentialis non solvitur methodo Fatii. Hoc est 

 hujus subtangentis non invenitiir per eam curva. Quam Hospitalius invenit esse vel 

 ay = ax-j-xx quae est parabola, vel ay = aa~\-xx + a'\/^aa-\-xx^ quae est composita ex 

 parabolae et hyperbolae applicatis". 



