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CORRESPONDANCE. 1693. 



qui change l'équation en celle-ci mdy = \ydm-\-i^mdm qui n'a que trois ter- 

 mes, et fur laqu'elle s'applique la règle en fuppofant y =nmh ce qui la réduit a 

 dn = \m—i dm^ dont les fommes font« = /«îOu n = mi T ^, fubftituant enfin 



a la place de « et de w leurs valeurs 3?»;— 4 et je trouue ay = aa + xx 



et ay = aa + XX ^^ a\/^aa + xx, d'où je connois que la courbe peut eftre vne 

 parabole ou vne ligne plus compofée. Cette règle peut auffi feruir lorfque les cour- 

 bes font mécaniques. Soit propofée par exemple de décrire la courbe qui a pour 

 foutangente x + y. L'équation différentielle fera. ydx = xdy + ydy, et fuppofant 

 x^my 7), on aura, après les fubftitutions faites, ady =ydm, qui eft vne équation 

 a la logarithmique, d'où l'on tire cette conftruftion *"). 



Soit vne logarithmique 

 quelconque ABC qui a pour 

 afymptote la droite DF fur 

 la qu'elle foit abbaiflee libre- 

 ment la perpendiculaire in- 

 définie DAI, qui rencontre 

 la logarithmique au point A, 

 foit mené DM parallèle à 

 vne tangente quelconque 

 BL et qui coupe en M l'or- 

 donnée BF qui part du point 

 touchant B, et ayant pris DG = FM, foit acheué le reélangle FH, je dis que le 

 point H fera à la courbe requife ^). Car ayant mené la touchante HE on aura 

 DE = GH. Pourauoir la quadrature de cette cowvhe y dx=xdy-\- y dy, on z.io\i{^tr2i 

 de part et d'autre ydx et on aura ^ydx = xdy + ydx + ydy^ d'où il fuit que la 

 fomme des lydx^ c'eft a dire le double de l'efpace ADGH ^) ^=xy -i- ^yy ''). 



'') Lisez plutôt : ax=my. 



') En effet, posant GD = .v, GH=3i, DF=ff/ et a pour la soustangente de la logarithmique, on 



a par la propriété bien connue de la logarithmique : y -j-:^ ,7, donc «is[y=3i^w; de même, 



par construction, x = GI> = MF = BF XDF : a=my: a, d'où il suit que la courbe des 

 points H satisfait aux équations mentionnées dans l'alinéa précédent. 



On remarquera que la ligne AD, laissée indéterminée par de l'Hospital, et non pas la sous- 

 tangente constante a de la logarithmique, fonctionne comme constante d'intégration, puis- 

 qu'on trouvera pour l'équation de la courbe :if = 'v I ^» d'oii cette soustangente a disparu. 



AL) 



*) Puisque cet espace doit s'annuler pour jr = o, 7 = AD, on doit remplacer l'expression qui va 



suivre piTxy-\-- f 



AD^ 



