CORRESPONDANCE. 1693. 449 



On demande la courbe qui a pour foutangente ■^ -■, qui eft celle de Mr. de 



Beaune. L'équation différentielle fera. adx=ydy—xdy, et Cuppohm y— x = z, 



on trouue après les fubftitutions faites adx = , d'où l'on voit que la courbe 



AMM dont les appliquées MC font 

 exprimées par z, et les coupées AC 

 par X, dépend de la quadrature de 

 l'hyperbole, mais comme on a fup- 

 poie y = z + x, il faut prolonger 

 CM en B, en forte que MB = AC, 

 et le point B fera à la courbe cher- 

 chée'"). Je referue à la ire fois à vous 

 enuoyer la reftification d'vne por- 

 tion quelconque de cette courbe ") 

 qui ell affurement plus difficile que 

 celle de la logarithmique comme 

 vous l'eprouuerez, fi vous vous donnez la peine d'y penfer. Vous me ferez plaifir 

 de me faire part des règles que vous auez pour l'inuerfe des tangentes. Au reite 

 je n'ay pu refoudre vos deux courbes et il y a apparence qu'elles fe reduifent à 

 des quadratures fort compofées "}, fi vous en fauez la refolution, mandez le moi 

 et ie m'y appliquerai avec plus de foin. 



'°) A la page 15 du livre J cette solution du problème de de Beaune est interprétée par Huygens 

 à sa manière géométrique. Il y construit l'hyperbole d = az -.(^a -z) et indique l'aire 

 hyperbolique à laquelle on doit égaler le rectangle ax, ou <? X AC, pour obtenir un point M 

 de la courbe AMM, pour laquelle MC =2; ce qui conduit à la première des deux construc- 

 tions communiquées par de l'Hospital dans la Lettre N°. 2787. 



") Il n'en est plus question dans la suite de la correspondance. 



") Comme MM. W. Kapteyn, Besouclein et H. Brocard, l'ont fait remarquer dans r„Inter- 

 niédiaire des mathématiciens" du mois de juillet 1903, T. X, p. 198, la première des deux 

 équations différentielles dont il s'agit ici et dont il est traité dans la note 30 de la Lettre 

 N°. 2777, n'est pas inaccessible même à une analyse assez élémentaire, admettant une inté- 

 grale générale relativement simple; tandis que celle de la seconde, quoiqu'elle soit réductible 

 aux quadratures, est bien plus compliquée. 



Ainsi, dans la première, qui peut s'écrire: (jxy -\- a-') dj -\- Qxy — ax-\-ay~)dx^=o, la 

 substitution xy-\-a'^^=ux aboutit à la séparation des nouvelles variables « et Jf; après quoi 

 il est facile d'obtenir l'intégrale générale sous la forme : 



X -X-y^^ a\ — 5» 



' •' xy — ax-\-a^ 



Quant à la seconde, qui s'écrit: ^^(/^-[-(a^icji^ --3«'j—,3Jf ')<!'* =0, on y reconnaît fa- 

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