454 CORRESPONDANCE. 1693. 



J'oubliois à vous mander que j'ay trouvé la 

 folution d'un problème*) que Monfieur Ber- 

 noulli frère du profefTeur à Bafle vient de pro- 



pofer publiquement dans les aftes de Leipfic ■♦). 



Ce problème eft tel: La courbe ABC a une 



propriété telle, que chacune de fes touchantes 



BD efl: toujours à la partie AD de l'axe prife entre fon origine A et la rencontre 



D de la touchante, en raifon dep^q. On demande la nature de cette ligne ou la 



manière de la décrire. 



A paris ce 2 juillet. 



") Il a voulu entendre l'eTpacc NABet que BN ell^i ■'>) [Chriftiaan Huygens]. 

 *) quelle courbe en vient il ? [Chriftiaan Huygens]. 



♦) Le problème fut posé par Bernoulli à l'occasion de l'article qui parut dans les Acta de mai 

 1693 sous le titre: „Solutio problematis Cartesio propositi Dn. de Beaune, exhibita a Joh. 

 Bernoulli Basileensi", où le problème fut formulé à peu près comme dans le texte de la pré- 

 sente lettre. Seulement au lieu du rapport /> à q,ou y trouve N : M. Ensuite Bernoulli ajoute: 

 „Problema hoc solutu dignum est, & facile Mathematieorum applicationem meretur. In 

 quacunque enim ratione sit M ad N, curva ABC semper eadem facilitate motu quodam con- 

 tinuo describi potest, non obstante, quod curva pro ratione M ad N magis vel minus com- 

 posita évadât; in casu quippe rationis aequilitatis illico patet, curvam ABC esse circulum: in 

 reliquis si M ad N est ut numerus ad numerum, erit quidem curva geometrica, secus autem 

 transcendentalis est. Quaeritur generalis determinatio puncti in curva". 



5) En eifet, la formule de de l'Hospital est incorrecte quand on l'applique à l'aire ABC et la 



cause en est que la valeur de z, c'est-à-dire de a^y:x^,ne s'annule pas avec l'aire ABC quand 



l'origine A est approchée par la branche CA, puisque par suite de la Te\3tior\:^y:x'=i-^y^:x^ 



elle y atteint alors la valeur a. On trouve donc en réalité pour la somme des ytix, qui constitue 



211 I 



cette aire : ~a^z-' a^z—' — p a^ = 2ax' : 331 — x*: ly'^ — ^a^. Mais il en est autrement 



3 2 6 •'■' ■ 6 



avec l'aire ABN à laquelle, comme Huygens le remarque à la page 39 du livre J, la méthode 



de de l'Hospital est également applicable, et mène ici à un résultat correct. Après avoirvérifié 



ce résultat, Huygens ajoute: „Ergo recte se habet ipsius quadratura. Sed non convenitsi 



B[C]est3'. Quaeritur cur hoc? Est enim tune calculus idem. Superat autem -7/71?, hoc est 



toto folio. Fiunt quaedam in hac computatione diflFerentiali quorum ratio occulta est, sed 

 quae cognoscenda esset, quia alias periculum erit ut decipiamur, neque etiam pro demonstra- 

 tionem haberi poterit. Aliquid latet in coUectione summarum, nani in casu B[C] est y, 



deberet esse surnma — *♦ : iyy-\-iaxx : 331 — "^'*''"' 



Consultez encore une note de la Lettre à de l'Hospital du 3 septembre 1693, où l'on verra 

 comment Huygens, par des considérations géométriques, s'est rendu compte enfin de la 



raison, pourquoi l'addition du terme — ^aa devient nécessaire dans le cas B[C] =31. 



