CORRESPONDANCE. 1693. 459 



— hbxx 00 o. Je me fuis encore propofè la foutangente - *.}, qui fait l'Equa- 



tien dilFe.Ie xxdy — aady :xi xydx, ou j'ay fuppofè x oo my"^^, ce qui donne 



dx 00 ^ -^, et après les fubftitutions, /oo mdm. Et la courbe aa + 



_ a ^ y' 



+ yy co XX. Dans voftre exemple où l'Equation dilFer.ie efl: axydx + 



+ aaxdx + x^dx oo a^dy + ûxxdy, en fuppofant aa + xx-xi am je trouve bien 



comme vous Monfieur mdy oo ^ydm + |- w^w; mais en fuppofant en fuite félon 



la règle, 3? 00 «ffïJ, je ne fcay pas comment vous en tirez dn o:) ^ m— ^i dm ou 



3- — C'eft pourquoy permettez que je vous demande icy quelque eclaircilTement. 



zaa 



Dans ce que vous avez touchant la quadrature de la courbe xx oo — — ^ , 



je n'entens pas comment vous trouvez xdy oo -^-^J^ — — ^- Il fenible que de 



i,T7 • l/^aa =F 2vy . , ,. \/^aa =P îvy 

 1 Equation x—y — ^^- oo o vous trouviez la ioutangente y ^ =^ 



ce qui ne fuit pas pTar la règle ordinaire des foutangentes. Je ne vois pas non plus 

 par ou vous trouvez la fomme âesydy ^ ;; — ^^; et cela n'ell pas moins diffi- 

 cile peut-eftre que de trouver Amplement et fans calcul différentiel la quadra- 



*) Ce problème fut posé et résoin par Huygens à la page 28 du livre J. L'expression de la 

 soustangente se rapporte à l'hyperbole aa-\-yy^xx, à laquelle la méthode devra donc le 

 conduire. Pour y réussir, Huygens commence par écrire l'équation diiFérentielle du texte 

 sous la forme: xi/y — a^x-'dy=ycix; après quoi le dernier cas de la note 4 lui suggère la 

 substitution ax = my, qui amène l'équation — ah'^'^ dy=màm du texte. Exécutant alors les 

 sommations, il trouve d'abord \ a^y-^=l wm = ia^x'y-',pu[s, ajoutant la constante ± l aa, 

 il arrive aisément aux équations aa-\-yy^xx etaa — ^5131 = ^^^; du cercle et de l'hyperbole. 

 Enfin il vérifie encore, pour le cas du cercle, géométriquement et algébriquement, la justesse 

 de l'expression Çxx—aa^ : x, „suhtg. cire, sed in contrariam partem ac in hyp.". 



Remarquons que l'addition d'une constante est motivée à la page 20, à propos d'un 

 exemple analogue, dans les termes suivants : „Scio apponi posse t H quia novi subtangenti 

 lineae cujusaequatio | b*y~^ — Mx-y-" eandem fore subtangentem curvae ^ i*y-^ — è*x^y-* 

 ■^ bb = o, ex natura regulae subtangentium", où la règle citée est celle indiquée dans la 

 note 3 de la pièce N°. 2612. En effet, l'expression algébrique, obtenue pour la soustangente 

 par l'application de cette règle, est indépendante de la présence d'une constante. Ainsi, dans 

 le cas de l'équation a^y-^ — a^x^y-^ [^F aa'] = o elle mène toujours (si l'on tient compte du 

 changement dans le signe du numérateur dont il est question dans la note citée) à l'ex- 

 pression: (2«4j-= — za^x'y-^^ : — 2a-xy-' = Çxx — aa^ : x. 



'') Lisez : ax 00 my. 



