CORRESPONDANCE. 1693. 463 



recherche merveilleufe par les feries pour venir à cette Règle "). Il dit que Mr. 

 Newton l'a auffi trouvée par un autre chemin et encore quelque chofe de plus; 



I ^ C" — ^— QÇa» — r— i)Xa:^+'-3" . , , 



1-(^„ + r+ X (w« + r-t- I— «) X («^« + r+ 1 —2»)*" '^-«c. 

 ubi,sicut priinus terminus, ita caeteri omnes intelligantur ducti in (_x" -j- «) "" + '•" 



„Patet vero hanc seriem seinper abrumpi cum r -|- ' = " ^s' 2 " vel= 3» &c., hoc est cum 

 (r-J-i): «aequatur numéro intègre et positivo;quiIibet enira terminus ductus est in « — r— i. 

 Quamobrem si r-\-ï^n sive « — r — 1=0 solus remanet primus terminus, inque eo fit 

 ^ + i_«__i^ quia scimus .r°esse=i. Itaque tune A rea fit (x" -|-'')'"'^ '•(""' + ''); "^"^ 

 mn-\-n = mn-\~r-\-\. 



„Secundum autem exponentum m in Aequatione data esse vel nutnerum integrum vel 

 fractionem, et vel cum signo -j- vel — . Ideoque tenendum de exponentibus r et «. Item in 

 aequatione quantitates x" et a posse liabere signa -\- vel — ". 



En outre, il résulte de cette page et des suivantes que Huygens a cherché sans tarder à 

 appliquer cette règle à quelques quadratures qui lui étaient connues. Commençant par le 

 15e exemple de Hubertus Huighens (voir la note 2, de la Lettre N°. 2735), où l'équation 



de la courbe peut être écrite sous la forme -.y^x^ Qx* -\~ a*')-'-, la règle mène à— (x*-f- ''*)*» 



aprèsquoi Huygens remarque que cette expression ne représente que la„quadratura curtata" 

 (voir la note 8 de la pièce N°. 2736), tandis que la quadrature complète, donnée par Hubertus, 



s'exprime par — («^ -|-«*)4 — — «*. 



Ayant essayé de même le 4e et le 16e exemple, c'est toujours à la quadrature „curtata" 

 qu'il arrive. Au 7e exemple, pour lequel il choisit la forme un peu simplifiée : 



•y == «4^; (a:' -)-<»^)-% la règle semble faillir, puisqu'elle amène a^ (^x^ -\- a^')—'' au lieu 



de:-( /»V(jc'-)-''°)~'i •"*'* 'ci encore il trouve que l'addition d'une constante suffit 



pour obtenir l'expression correcte. 



Dans tous ces exemples c'est au premier terme que la série de Grégory s'arrête. Mais il en 

 est autrement avec le 13e exemple de Hubertus, où l'on ay=iï-'jc^ (x* + ^')~*" Ici les 



deux premiers termes mènent à la quadrature —a-'x^ (*-^ -j-**)* b^a-^Qx^-{-b^')^,<\m 



ne diffère encore que par un terme constant d'avec celle de Hubertus. 



Outre ces exemples, empruntés à Hubertus, Huygens en a traité encore quelques-uns, 

 parmi lesquels nous signalerons les deux suivants, à propos desquels Huygens a annoté: „Has 

 duas dedi examinandas D. Gregorio 30 Jun. 93"; 1°. la courbe ■\'^=ifa*x(^x* — «'*)—' à la- 

 quelle la règle n'est pas applicable, puisque (r-j- i) : «= — ; toutefois Huygens croit savoir 



que la courbe est carrable algébriquement; mais cette opinion, pour laquelle il renvoie à la 

 page 148 du livre H, repose sur une erreur de calcul, erreurs qui dans les derniers manuscrits 

 de Huygens, cessent d'être rares; 2°. la courbe y = </^.v3 (j;4 — <?•*)"■, pour laquelle 

 (r-{-i'):n=i-, la règle y serait donc applicable, mais elle amène, comme Huygens le 



remarque : -^^ '— „sive — quod absurdum aut aequale nihilo; imo mfinito potius, ut 



in spatio asymptotico hyperbolae". y 



°; Voir l'Appendice N°. 1812. .,:,;,„ . . .■:,.. ,■ ". 



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